離婚後に発覚した離婚前の不貞行為について慰謝料請求は可能です。
不貞の事実を知ったのは離婚後であっても，不貞による損害(あなたの夫としての権利の侵害)自体は，離婚前の不貞時に発生していたと考えられるからです。
元妻が不貞を認めない場合，「不貞行為と見られるフォルダ」の内容が重要になります。一般人から見て，不貞をしていると認められる程度の証拠となり得るか検討してください。

他方，「財産分与の見直し」というのは疑問です。不貞の事実の有無と財産分与は通常リンクしないからです。

請求額全額をお支払いするということであなたの中で結論が決まっているのであれば，お相手の代理人の事務所にアポイントを取ったうえで，先方の事務所において細かい点を話し合ったり，示談書等への署名押印をしたらいかがでしょうか。
仮に，先方の事務所に直接行くことが困難であれば，郵便局の局留めはどうでしょうか。

夫のＬＩＮＥのうち，一般的に見て，女性との肉体関係の存在を推認させる内容のトークを，日付が分かるようにして撮影し，証拠を収集すべきですね。
夫の不貞の責任を追及したいなら，まずは言い逃れができないような証拠を集めておくことが重要です。

そのうえで，離婚調停を申し立てるのが良いと思います。
不貞の証拠を突き付けても，モラハラ傾向がある夫は，開き直ったり，ＬＩＮＥを見るのはプライバシー侵害，等と非難してきて，話し合いにならない可能性が高いと思われますので，そうだとしたら，最初から調停を申し立てるか，別居したうえで，代理人を立てて代理人から請求してもらう，といった方法がよいのではないでしょうか。

気になるのは，夫に借金がある（又は，以前あった）ということから，夫には慰謝料を支払うお金がないのではないか，ということです。
不貞の証拠を収集し，裁判等で主張することで，法的に夫に慰謝料支払義務を認めさせることはできたとしても，夫に資産がなければ回収が難しくなります。分割払いにする約束をしたところで，いつまで支払ってもらえるか確証はありません。そのため，どのように回収していくか，というところが問題になるかもしれません。

１　親権
　　父母いずれが主な監護者（お子さんの世話をする人）といえるか，主な監護者による監護が適切といえるかが重要な判断基準となります。
　　奥様が「昨年度から」「家事，育児にも参加しなくなりました」とのことですが，①奥様が現在どのような生活をしているのか，②奥様はお子さんたちと日常的にどのようにどれくらいの時間触れ合っているのか，③育児につき「私と私の両親が子どもの世話をしている」とのことですが，あなたご自身はどのような育児をされているのか，④お子さんたちは奥様のことをどのように思っているのか，がポイントではないかと思います。
　　ご留意いただきたいのは，奥様との間で離婚の話になった場合に，奥様がお子さんたちを連れて別居するおそれがあるので，それを断固阻止しなければならないということです。仮に，昨年から奥様が育児を一切行っていなかったにしても，お子さんの年齢からすると，奥様がお子さんを連れて別居に踏み切った場合，あなたが親権者，監護権者となることは困難となる可能性が高いです。
２　慰藉料
　　奥様の不貞の具体的な証拠がないとのことですね。
　　奥様が不貞の事実を認めるのであれば，証拠は必ずしも必要ではありませんが，通常，不貞を認めることはないでしょう。
　　奥様のお姉様の証言だけだと証拠としては弱いと思われます。
　　お姉様が協力してくださるのであれば，奥様に対し，LINE等で具体的な不貞についての事実関係を尋ねていただき，奥様の回答を証拠とする，というのは一つの方法かもしれません。また，奥様が，現在もその相手と不貞関係にあるのであれば，直接的な証拠を取得する可能性もあるかもしれません。
３　養育費
　　あなたが，お子さんの親権者，監護権者となれば，当然奥様に対して養育費の請求が可能です。

「その間に」とは，離婚調停の前か後かどちらでしょうか。また，調停を申し立てたのは，夫でしょうか，あなたでしょうか。

あなたが他の男性とホテルから出てきたのが，「夫が離婚調停を申し立てた後」であれば，婚姻関係破綻という反論が成り立ちうると思いますが，それ以外の場合，別居後，さほど時間がたっていないこともあり，婚姻関係破綻とは認められないように思います。

慰謝料の相場については，婚姻期間との兼ね合いもあるので何とも言えませんが，一般には200万円程度ではないでしょうか。

気になるのは，夫がお子さんを連れ去ったとのことですが，取り返すおつもりはないということでしょうか。親権より，監護者の指定，引渡しを争わないのだろうかと疑問に思いました。

不貞相手の携帯電話番号が分かれば，弁護士に依頼することが条件となりますが，弁護士がその携帯電話番号につき登録されている名前，住所等を調べることは可能です。
職場に対して照会をかけるのは，おっしゃるとおり，退職するリスクがあると思われます。

不貞相手の氏名を調べる何らかの端緒がないと，弁護士といえど，調査は著しく困難です。
最も手っ取り早いのは携帯電話番号です。

夫に対する慰謝料請求なら可能と思われますが（ただし，証拠の内容次第です），相手の女性の名前や住所が分からなければ，そもそも慰謝料請求自体ができません。