弁護士に依頼することが前提となりますが，弁護士であれば，⑴支払義務者（元配偶者）の住民票上の住所，⑵携帯電話番号が変更されていなければ，携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。
ただ，いずれの手段もある程度時間がかかるのと，⑴については，住民票上の住所と現住所とが一致していなければ意味がなく，⑵については，携帯電話業者の登録情報に現住所が記載されていなければ意味がないことになります。
その点を踏まえた上で，それでも調べたいというのであれば，弁護士に支払義務者に対する養育費の請求を依頼するのがよいと思います。

そもそも，いったん合意した養育費額は，その後に減額の合意等がない限り，当初の合意に基づく支払いの義務があると考えます。
現在の夫と娘さんが養子縁組をしたこと，元夫が再婚相手との間に子が出生したことは，元夫の支払うべき養育費額に影響を与える事実ではありますが，法的にそうであることと，当事者間で取り決めをした内容はイコールでなくてもよいわけで，当初の合意がそのまま効力を持ちます。

現在，「公正証書で取り交わした月々の養育費よりもかなり減額した額で支払ってもらって」いるとのことで，あなたと元夫との間で，月々の養育費については事実上又は黙示の減額の合意がされていると考えることはできますが（そこも争う余地はあるかもしれません），一時金については，特に減額または支払わない旨の合意はされていないのではないでしょうか。
そうであれば，少なくとも一時金については，支払いを求めてもよいと思います。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

あなたの夫がどのように前妻との間で養育費の金額を定めたのかは不明ですが，仮に，当時の双方の収入に照らして「月に２０万円」と決めたのだとすれば，現在，夫が退職により減収となったことを原因として，養育費の減額を求めることには，正当な理由があると考えられます。
そこで，早急に養育費の減額を求める調停を申し立てるべきではないかと思います。

１　過去の養育費について
　　過去の養育費は支払うべき義務はないです。養育費は，子の「現在の」生活を定期的に充足させるための費用であり，過去分については充填のしようがないからです。請求時又は養育費調停申立ての月からの養育費の支払いで構いません。
２　面会交流ができなかったことの慰謝料請求について
　　そもそも，面会交流は，子の権利であり，本来は，非監護親（子と生活していない親）の権利ではありません。非監護親は，子の面会交流権の反射的効果として，一定の限度で面会交流権を有するのだと考えられます。
　　また，現時点で認知をしていない以上，生物学的にはともかく，法律上は父ではないので，面会交流というのは想定できません。勿論，あなたとすれば，認知すると申し出ていたにもかかわらず，相手が無視していたため認知ができず，したがって，面会交流ができなかった，ということをおっしゃりたいのだと思います。ただ，やはり現実に認知をしていないことからすれば，面会交流権を主張することには違和感があるように思われます。
　したがって，面会交流ができなかったことについて慰謝料を求めることは現実的ではないと思います。

　むしろ，認知をして，今後の養育費の支払いについて取り決め，他方で，今後の面会交流についても取り決める，という方が実態に即した解決ではないかと思います。

お子さんが３人いらっしゃるとのことですから，なるべく養育費の支払が確保できるよう公正証書を作成するか，調停を申し立て，調停調書に養育費のことを記載してもらうのがよろしいかと思います。
家の名義変更についても書面化しておく方が安心でしょう。

夫の転居先は，夫が住民票を異動していれば，離婚後であっても養育費の請求などを理由に調べることは可能です。転職先については，養育費の未払いがあれば，調査することはできますが，前提として調停調書などの書面により養育費が認められている必要があります。

扶養義務は，⑴生活保持義務と⑵生活扶助義務に分けられます。
⑴は，自分と同程度の生活を対象に保証するという義務，⑵は，自分が経済的に余裕があれば，必要な分だけ対象に保証するという義務であり，内容が違います。
では，⑴と⑵をどういう基準で分けるのか，についてですが，夫婦間と，未成熟な子に対しては，⑴になります。
未成年ではなく，未成熟，というのは，経済的独立ができない子という意味ですが，一般的には，成年に達し，かつ，大学などの教育機関にも通っていない子は，未成熟とは言わないです。
障害がある場合は，障害の程度，内容，その子の生活ぶりによります。

対象のお子さんは，２１歳で，軽度の障害があるが，障害者雇用で勤務しているとのことですので，未成熟とはいえないのかなと思います。ただ，障害者雇用なので，給与額は低いだろうと想像できます。

以上のことから，あなたが対象の子に対して扶養義務を負うとしても，⑵の生活扶助義務ではないか，と考えてもよいように思います。
そうすると，問題となるのは，あなたの経済状況と，対象の子が月々いくらの扶助を必要としているか，ということでしょう。

そのため，調停においては，ご自身の世帯の収入と支出を明らかにして，経済的余裕がないことを主張しつつ，対象の子の生活状況を尋ねるべきでしょう。

また，仮に，扶養料を支払うことになった場合の期間ですが，対象の子の状況が変化することがあり得るので，何年後かに見直すことを前提に，５年といった一定期間の扶養義務とする解決となるように思います。