あなたと交際相手との関係が「婚約」といえるのであれば，「慰謝料請求」は，「不当な婚約破棄」を原因として行うことになります。
「婚約」といえるかどうかですが，チャットの「結婚の話や同棲，記念日についての会話」の具体的内容によります。
要は，ピロートーク的なその場のノリや軽い気持ちで述べたものか，真剣に婚姻に向けた話かによるということです。

あなたが県外の会社に就職し，交際相手と同棲するために賃貸物件を申し込んだということはプラスに働く事情になると思いますが，一般的に「婚約」は，例えば，結婚式場の予約，両家顔合わせ，結婚指輪の購入等の分かりやすい結婚に向けた動きがあった方が認定しやすいです。
仮に，「婚約」といえる場合，次に，交際相手による婚約破棄が「不当」といえることが必要ですが，その点は，「他に好きな人ができた」というのは不当というほかないので，問題ないと思われます。

なお，モラハラ，というのは本件とは異なるように思います。
性格の不一致は，広い意味では該当しますが，不当性という点からは，他に好きな人ができた，という理由の方が不当性が明らかなように思います。

夫と話し合って，離婚，慰謝料額，養育費額等について合意ができるのであれば，公正証書にするのが良いと思います。夫との協議が整わないようであれば，家庭裁判所で離婚調停を行うべきだと思います。

慰謝料の請求金額自体はいくらでも可能ですが，裁判で認められる金額となると，具体的な事情や夫の収入，資産によっても異なります。
肝心なことは，不貞の証拠があるかどうかです。夫は５人以上と不貞したとのことですが，直近の１人以外は証拠がないということでしょうか。そうだとすると，せいぜい２００万円から３００万円くらいではないでしょうか。

気になったのは，現在夫と同居中で，夫から「離婚しないと不倫するとか，私を殺したくなる，子どもを嫌いになりそう」などと言っているとのことです。それらの夫の暴言を録音することはできますか？
慰謝料請求にあたり，不貞だけではなく，そのような夫の暴言も精神的苦痛の原因となるように思いました。

不貞の証拠がＬＩＮＥしかなくても，慰謝料を取れる可能性はあります。
但し，ＬＩＮＥの内容がどのようなものかによります。
要は，一般人から見て，夫とその女性とが不貞行為をしたと認められる内容かどうか，ということです。
さらにいうと，不貞行為の日時などもなるべく特定したいところです。

また，仮に，上記の点をクリアしたとしても，実際に請求にあたっては，女性の氏名，住所が分からなければ請求のしようがありません。

そのため，夫とその女性とのＬＩＮＥの内容がどのようなものか，また，その女性の氏名，住所を調べることができるか，が請求の可否を決めることになります。

なお，夫が弁明している「ホテルに行ったが，身体の関係はなかった。」という内容は，一般的には認められることはないと思います。

１　親権
　　父母いずれが主な監護者（お子さんの世話をする人）といえるか，主な監護者による監護が適切といえるかが重要な判断基準となります。
　　奥様が「昨年度から」「家事，育児にも参加しなくなりました」とのことですが，①奥様が現在どのような生活をしているのか，②奥様はお子さんたちと日常的にどのようにどれくらいの時間触れ合っているのか，③育児につき「私と私の両親が子どもの世話をしている」とのことですが，あなたご自身はどのような育児をされているのか，④お子さんたちは奥様のことをどのように思っているのか，がポイントではないかと思います。
　　ご留意いただきたいのは，奥様との間で離婚の話になった場合に，奥様がお子さんたちを連れて別居するおそれがあるので，それを断固阻止しなければならないということです。仮に，昨年から奥様が育児を一切行っていなかったにしても，お子さんの年齢からすると，奥様がお子さんを連れて別居に踏み切った場合，あなたが親権者，監護権者となることは困難となる可能性が高いです。
２　慰藉料
　　奥様の不貞の具体的な証拠がないとのことですね。
　　奥様が不貞の事実を認めるのであれば，証拠は必ずしも必要ではありませんが，通常，不貞を認めることはないでしょう。
　　奥様のお姉様の証言だけだと証拠としては弱いと思われます。
　　お姉様が協力してくださるのであれば，奥様に対し，LINE等で具体的な不貞についての事実関係を尋ねていただき，奥様の回答を証拠とする，というのは一つの方法かもしれません。また，奥様が，現在もその相手と不貞関係にあるのであれば，直接的な証拠を取得する可能性もあるかもしれません。
３　養育費
　　あなたが，お子さんの親権者，監護権者となれば，当然奥様に対して養育費の請求が可能です。

お手持ちの証拠はどのような内容でしょうか。
重要な視点は，全く事情を知らない第三者がその証拠を見ても，不貞＝肉体関係があると認められるかどうか，ということです。
例えば，ＬＩＮＥは内容次第では不貞を強く推認できるものもありますが，そうでないものもあります。
具体的に，このような証拠がある，と提示していただいた方が，適切な判断を行うことができます。

慰謝料請求は可能ですが，その原因となる事実は，「夫が既婚者と知りながら不貞行為に及んだこと」になります。
他方で，不貞相手が「子どもに連絡したこと」は，あなたが不貞相手に対して請求する慰謝料の原因にはなりません。

夫と不貞相手との間の子は，「養育費や条件を決める」ということですから，夫も認知をしているということですよね。
認知により，夫には，その子に対する扶養義務(養育費を支払う)を負担することになりますが，他方で，「親権」があるわけではありません。
そうすると，その子の監護養育は，不貞相手において行うべきということになろうかと思います。
そのため，不貞相手から子を引き取れと言われたとしても，夫には応じる義務はないと考えられます。
まして，あなたは，その子に対して何ら責任や義務を負担していないため，その子が育児放棄された場合の心配までしなくてもよいです。もちろん，倫理的，人道的には，育児放棄されたら子がどうなるのだろうと思いますが。

不貞慰謝料又は離婚慰謝料が必ず配当原資に充てられなければならないかというと，疑問に感じます。
以下の点は，少し専門的な話になりますが，詳しく説明すると長くなるので，分かりやすい説明は割愛します。
自宅を所有しながら破産となると，他の資産の有無や残ローンと自宅評価額との差額にもよりますが，管財事件になる可能性が高いと思われます。
管財事件だと，自由財産の拡張の申立てが可能であり，慰謝料については，自由財産拡張を申し立てればそれなりの金額は拡張が認められるように思います。
要は，破産しても慰謝料を（全額ではないかもしれませんが）手元に残せる可能性があるということです。

妻に対する慰謝料請求を認めさせるに足りる証拠が揃っているのであれば，慰謝料請求を先行し，勝ち取った慰謝料から申立費用を捻出して破産申立てをするというのでもよいように思いますが，詳しい事情が不明なので明確な回答はできません。