弁護士に依頼することが前提となりますが，弁護士であれば，⑴支払義務者（元配偶者）の住民票上の住所，⑵携帯電話番号が変更されていなければ，携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。
ただ，いずれの手段もある程度時間がかかるのと，⑴については，住民票上の住所と現住所とが一致していなければ意味がなく，⑵については，携帯電話業者の登録情報に現住所が記載されていなければ意味がないことになります。
その点を踏まえた上で，それでも調べたいというのであれば，弁護士に支払義務者に対する養育費の請求を依頼するのがよいと思います。

不貞によりお子さんへの悪影響があったかどうかによりますが，不貞をしたからといって親権者になれないわけではありません。
不貞の頻度，相手と会っていた時間帯によりお子さんの監護に支障が生じていたり，お子さんが不貞相手とあなたとの逢瀬を見てしまったりしたら，親権の判断においてマイナスに働きますが，不貞はしていたものの，お子さんに知られることもなく，監護にも支障がなく，お子さんにとって「よいお母さん」であれば，不貞の事実は大きく影響しないと考えます。

親権より問題なのは，離婚できるかどうかではないかと思います。
夫は，あなたの不貞発覚後もあなたに性交渉を求めているところからしても，あなたに執着しているように思えます。そうだとすると，離婚には応じないのではないでしょうか。その場合，有責配偶者からの離婚請求として，通常の離婚請求より，認められるための条件が重くなります。

それでも離婚したいのであれば，まずはお子さんを連れて別居する，具体的には，ご実家に転居することから始めたらいかがでしょうか。

「夫婦の貯金１４０万円」をあなたがもらい，車を夫に渡す，というのは，「財産分与」の問題です。
財産分与は，婚姻後，夫婦が経済的に協力して取得した財産を離婚に際して清算する制度なので，夫に渡す車の価値が１４０万円（時価。ローンがないこと前提）以上であれば，あなたが１４０万円の預金を取得しても何ら問題はありません。
他方，車にあまり価値がない場合は，下記の慰謝料の点を強く主張し，財産分与＋慰謝料として預金プラスαをもらうことになります。

慰謝料については，「決定的な証拠はない」とのことですが，相手の女性が誓約書をあなたに送付し，慰謝料２０万円を振込んだということですので，その誓約書に，あなたの夫とその女性が不貞行為を行ったことと認め，慰謝料を支払う旨の記載があれば，夫に対する「証拠」となります。
不貞行為は，配偶者に対する他方配偶者（本件では，夫）と不貞相手との共同不法行為なので，あなたは，相手の女性にも夫にも慰謝料を請求することは可能です。ただし，夫と相手女性の責任は，「連帯」しているので，女性から十分な額の慰謝料をとってしまった後に，夫から重ねて慰謝料をとることはできません。
もっとも，今回，あなたは，女性から２０万円しか得ていないということなので，夫に対し，さらに慰謝料請求をすることは可能です。
慰謝料の相場としては，２００万円くらいと思ってください。あなたは，女性から２０万円を得ているので，夫には１８０万円程度を請求することは可能ということです。

ご自身で解決するのが難しければ，弁護士に相談，依頼するのも一つの考えです。

１　慰藉料
　　夫の代理人から「和解金」１００万円の提示があったとのことですが，夫の不貞については，認めていないのでしょうか。仮に，夫の代理人が不貞を認めていないのだとしたら，不貞の証拠の強度が問題になります。
　　不貞の立証が可能であれば，あなたがおっしゃっている慰謝料２００万円という金額は相当です。
２　養育費
　　前提として，養育費は，合意があれば，双方の年収に比して算定しなくてもよいので，慰謝料その他の条件との兼ね合いで月６万円の養育費を認めさせることは可能かもしれません。
　　他方で，あくまで双方の年収をベースにして算定する場合，夫の年収４００万円に対し，あなたの年収を０とするのであれば，６万円というのは相当といえます。
しかし，お子さんが２歳になっているため，「もう働けるはずだ」との理由で，あなたの年収を１００万円程度と試算する考えもあろうかと思います。そのため，あと１年は月６万円，その後は５万円という先方の要望は，あながち不当なものともいえないように思います。
　　ここは，法的にどうこうというより粘り強く交渉すべきではないかと思います。
　　「当初，８万円支払うと言っていたではないか」とごねてもいいと思います。
３　面会交流
　　２０歳まで面会交流を認めない，というのは，原則として通りません。
　　それが認められるのは，夫が子に対して虐待をしていたり，お子さんがある程度の年齢になり自己表現できるようになった後に，父との面会を強く拒んだ場合などに限られます。
　　世の中には，家庭裁判所から面会交流をせよと言われても，頑として実施しない人もいますが，あまりお勧めしません。最終的には，間接強制等により強く実施を迫られることになるからです。
　　養育費との関係では，むしろ，しっかり夫とお子さんを会わせることで，夫に子に対する情をわかせて金を引き出していった方がよいように思います。
４　「書面返答で不当理由の記載有無」
　　質問の趣旨がよく分かりません。

具体的な事情が不明なため，一般的な話として聞いていただきたいですが，面会交流は，お子さんのために行うものですから，監護親といえど元夫との間の誓約書が面会交流の条件となることはないです。
但し，面会交流は，監護親の協力の下で実施するものなので，元夫が，監護親として貴女に何か誓約させたいことがあり(子の連れ去りをしないとか，父の悪口を吹き込まない，子に暴力を振るわない，などといった禁止条項)，それが子の福祉の見地から必要かつ相当といえるのであれば，応じた方がよいように思います。

お子さんの年齢，あなたがしているお子さんの世話の内容（仕事がある日，ない日それぞれ），夫の育児へのかかわり方・程度によって，あなたか夫のいずれが親権者とすべきかの判断が分かれるように思います。

仮にあなたが親権者，監護者になれるとして，次に検討すべきは，離婚または別居した後のあなたとお子さんたちの生活をどのようにしていくか（あなたの収入は増やせるのか，実家に戻れるのか，戻れないとしたらどこに住むのか，生活費は足りるのかといったこと）ではないかと思います。

離婚または別居するのであれば，親権・監護権の問題はもちろん重要ですが，その後の生活のことまでしっかり考えてからにした方がよいと思います。

　弁護士以外の方が代理人になることについてですが，おっしゃるとおり「代理人には，お金さえ払わなければ，家族など弁護士以外でもなれる」という理解は基本的には正しいと思います。
　念頭に置いているのは弁護士法にいうところの「非弁行為の禁止」だと思いますが，「お金さえ払わなければ」＝報酬目的ではないなら，非弁行為には該当しない，ということですよね。その考えは，裁判所外の紛争における代理人であれば，間違ってはいないです。
　ただし，選任した代理人が適切かつ相当なのか，という事実上の問題はあると思います。
　要は，報酬目的ではないにせよ，義憤にかられた知人，友人等が代理人として選任された場合，その方があまり法律的でない反論や感情的な対応をすることにより，かえって混乱を招き紛争が激化する危険もあり得るということです。
　そのため，法律的素養があり，交渉の経験を有する弁護士が，基本的には代理人として相当なのではないかと考えます。相手の弁護士は，そのような理由から代理人を弁護士に限定したのではないでしょうか。
　本件については，お母様を代理人とされていたということですが，相手が弁護士に委任する前までは特に支障なく代理人として交渉できていたのであれば，お母様を代理人とすることには特段問題はないように思います。そのため，相手の代理人に，これまでの経緯などを説明し，お母様を代理人とすることの理解を求めてみてはいかがですか。
　ただし，本件が仮に訴訟になれば，お母様を代理人とすることはできません。