相談された弁護士の意見は，どれも相当と思われます。
「以前より無条件に母親が強いわけではなくなった」のも「裁判所は結局は母親という固定観念が未だにすごい強固」なのも実情に沿うものです。
なぜ各弁護士の意見がバラバラになるかといえば，事件を担当する裁判官それぞれの価値観がバラバラだから，ということではないかと思います。

身も蓋もない話ですが，ギリギリの事案になると，担当する裁判官により結論が変わり得るというのが私個人の感覚です。大半の事案は，どの裁判官が判断しても同じ結論になると思いますが。

さて，あなたのケースで問題となるのは，⑴主たる監護者といえるのか，という点と，⑵妻の抵抗を受けずに子を連れて別居可能か，ということではないかと思いました。「明らかな負け戦」とは思いませんが，少なくとも有利とはいえない状況だと思います。

⑴については，「育児はとても積極的にしていた」ということをどのように立証するかがポイントでしょう。
夫婦それぞれの仕事内容や家にいる時間の長短，１日のスケジュール，具体的にどのような育児をしてきたか，それを証明する資料があるか，母子健康手帳やこども園との連絡ノートは誰が記入していたか，配偶者の看護に問題はなかったか，ということを検討すべきでしょう。

⑵については，妻の同意なく子を連れて別居に踏み切った場合，妻から監護者指定，引渡しを求められることになるというのは，相談した弁護士が指摘するとおりです。そしてその場合，やはり「主たる監護者」がどちらだったかも争点となりますが，仮に，妻だと認定された場合は，子の連れ去り方法の「手段が不相当」との判断により，妻の主張が認められると思われます。そのため，子を連れて別居するのであれば，妻の抵抗を受けない方法が望ましいです。実際のところは難しいですが。

頑張ってください。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

夫の家庭を顧みない態度からすれば，あなたが親権を望めば，夫が親権を主張することはないのではないかということと，仮に，夫が親権を主張しても，争ったら裁判所はあなたが親権者とする可能性が高いです。

問題は，親権ではなく，パート勤務のあなたが５人の子どもを抱えて生活していけるのか，という方だと思います。
実家などでもよいですが住む場所は確保できるのか，生活費は不足しないか（夫は養育費を支払ってくれるのか，親族の援助などは受けられるか），といった現実的な離婚後の生活を検討すべきでしょう。

現在の形の面会交流の実施が子の福祉に反するという理由で，当面の間，直接的面会交流(直接面会する形での交流)は実施せず，こちらから写真や動画などを送るといった間接的面会交流のみを実施する，と主張してみたらどうですか。
当然，相手は反発してくるので，「この福祉に反する」ことについてどこまで説得的な資料を出せるかが重要です。

１　出産費用について
　　請求される可能性があります。しかし，出産一時金の申請をしていて，一時金の給付を受けたのであれば，その分は控除すべきではないかと思います。
２　過去の養育費について
　　これまで養育費について何ら取り決めがなく，相手の女性からも請求がなかったのであれば，原則として，過去の養育費については支払う必要はありません。
３　今後の養育費について
　　まだ養育費について取り決めていないのであれば「減額」というのは適当ではないです。
　　おっしゃりたいのは，減額された今年の給与を基準に養育費を取り決めたい，ということだと思いますので，昨年分の源泉徴収票を提示しつつ，本年の給与明細を示し，昨年の給与から減額されたことを証明すべきだと思います。

離婚協議書の内容自体について，元配偶者との間で合意していたのであれば，離婚協議書にサインがないことを理由に合意が無効になるわけではありません。
但し，元配偶者が，「合意した覚えはない。」と言い出した場合，離婚協議書にサインがないので，合意の存在を証明できない，合意したという証拠がない，ということです。

ではどうすればよいかというと，家庭裁判所に，「離婚後の紛争調整調停」を申し立て，元配偶者と合意した内容について，もう一度元配偶者と話し合い，家庭裁判所に書面を作成してもらう，というのがよいと思います。

もちろん，元配偶者が応じないということは考えられますが，あなたが直接元配偶者に対して，離婚協議書へのサインを求めるよりは，家庭裁判所を通じて話し合いを求めた方がうまくいく可能性が高まるのではないでしょうか。

貴方の年収等にもよりますが，児童扶養手当は受給可能でしょう。
市町村によって受給額や所得制限額が異なりますので，お時間があるようなら市役所のＨＰをご確認ください。
また，児童手当の受取先の変更も可能です。これは離婚しなくても一定の要件が満たされれば変更可能です。