モラハラにあたります。大変ですね。
あなたたち夫婦の実態は分かりませんが，仮に，あなたが適切でない行動をとっていたとしても，正座して謝罪などを求めるのは度が過ぎています。
夫の罵声の録音をお勧めします。

親権については，お子さんが生まれてから面倒を見てきたのはあなたでしょうから，お子さんの生育に特段問題がなければ，あなたがお子さんを連れて別居した後離婚したとしても，親権を奪われることはないと思われます。

夫とは同居中ということでしょうか。
夫と全く話ができないのであれば，家庭裁判所に「婚姻費用分担調停」を申し立てたらいかがですか。
この調停は，通常は別居中の夫婦を対象としますが，同居中であっても全く生活費をもらえていないのであれば，夫婦がお互いに負う「生活保持義務」が果たされていないことになるので，同居中であっても申し立てる意義はあると思います。
調停の中で，調停委員から夫を説得してもらったらいかがでしょうか。

財産分与の対象は，婚姻期間中（離婚より前に別居した場合はその時点まで）に夫婦が経済的に協力して得た財産，なので，夫が，婚姻後に不動産，株式などを得たのであれば，それが相続や贈与を理由としたものでない限り，財産分与の対象となります。

問題は，あなたが夫の財産の「詳しい内訳」が一切分からないということです。
まず，夫の財産を調査すべきです。預金口座なら，どの銀行のどの支店で残高いくらか，株式はどこの株式でどの証券会社が管理しているか，といったことです。

モラハラなどについては，録音が可能であれば，録音をお勧めします。

別居が可能かどうかは，貴方とお子さんたちに行く場所があるか，当面の生活費があるか，次第でしょう。

夫が離婚を拒否しているとなると，少なくともしばらくの間，離婚は難しいでしょうね。

別居については，物理的に，娘さんを連れて別居してしまえば可能です。
夫が，娘さんを取り返そうとして，「子の監護者の指定，引渡し」を求めても，家裁は監護権者をあなたと指定する可能性が高いです。不貞と，子の監護者に父母いずれが適切かの判断は，直接関連していないからです。あなたがこれまで主に娘さんの世話をしてきて，特段その世話に問題がないのであれば，家裁はあなたを監護権者とするでしょう。
そうであれば，娘さんを夫にとられる心配がないので，別居は可能ではないかということです。

夫が他に取る手段といえば，あまり聞かないですが，「同居を求める審判」を申し立てることは考えられるかもしれません。離婚していない以上，夫婦には同居の義務があるからです。
仮に，そのような申立てがあった場合，不貞をした挙句出ていった，というのではさすがに印象がよくないので，「価値観の違い」が大きく一緒に生活することが困難だったというのを，なるべく証拠を付して，主張していく方がいいでしょうね。同居を求める審判は，私は体験したことがないので，裁判所がどう扱うのかは何とも言えませんが，夫婦の同居義務はともかくとして，同居したくないと言っている妻を無理やり夫と住めということは言い難いように思います。

最後に，離婚請求についてですが，ネットで調べればすぐにわかると思いますが，有責配偶者からの離婚請求の要件が３つあります。一つ言えることは，別居が前提ということです。
親権については，あなたが娘さんを連れて別居しているのであれば，問題なく親権も取れるでしょう。

夫が他の女性と電話して「一緒に住みたい」などと言っているのであれば，それを録音しておいた方がいいと思います。
今後，夫から正式に離婚請求がされた場合に証拠として使えます。

・今後の相手とのやり取りについて
　養育費増額や面会交流について改めて話し合いをしたい場合は，（あなたご自身又は代理人に依頼して）直接のやり取りをするか，新しく調停を申し立てるかのいずれかによると思われます。
・今まで依頼していた弁護士さんについて
　依頼した当初に，委任契約書を取り交わしていると思いますので，その契約内容をご確認ください。
　委任の範囲の解釈の問題だと思います。
　契約の範囲が，例えば「離婚訴訟の第1審終了まで」，とされているのであれば，第1審終了により当該委任契約における受任弁護士の役割は終了したと考えられます。そのため，続けて養育費や面会交流について相手方と協議することをお願いしたい，ということであれば，その弁護士さんのおっしゃるとおり，別の委任契約を締結する必要があります。
　

不貞によりお子さんへの悪影響があったかどうかによりますが，不貞をしたからといって親権者になれないわけではありません。
不貞の頻度，相手と会っていた時間帯によりお子さんの監護に支障が生じていたり，お子さんが不貞相手とあなたとの逢瀬を見てしまったりしたら，親権の判断においてマイナスに働きますが，不貞はしていたものの，お子さんに知られることもなく，監護にも支障がなく，お子さんにとって「よいお母さん」であれば，不貞の事実は大きく影響しないと考えます。

親権より問題なのは，離婚できるかどうかではないかと思います。
夫は，あなたの不貞発覚後もあなたに性交渉を求めているところからしても，あなたに執着しているように思えます。そうだとすると，離婚には応じないのではないでしょうか。その場合，有責配偶者からの離婚請求として，通常の離婚請求より，認められるための条件が重くなります。

それでも離婚したいのであれば，まずはお子さんを連れて別居する，具体的には，ご実家に転居することから始めたらいかがでしょうか。