ご質問の趣旨は，ＧＰＳ及びボイスレコーダーで得た情報を裁判等で証拠として使用できるか，ということだと思われますが，車の使用者が夫のみであるならば，証拠として使用することは可能です。
特段夫に保護されるべき利益が認められないからです。

若干気になるのは，夫の使用車両が「会社」の名義で，夫も電車通勤なのに，「生活として（私用に）車を使って」いるという箇所です。

ＧＰＳやボイスレコーダーで証拠を収集したとして，その車を夫が使用していたとどのように立証するのか，声の主が夫と立証できるのか，という点が気になりました。

あなたの一番の希望は，夫の子に対する叱り方の改善などを話し合ったうえで婚姻生活を続けることで，それがかなわない場合に離婚することも視野に入れている，という感じでしょうか。

まず，「現状の解決策」についてです。
相談内容を読む限り，（ご指摘の通り）夫はモラハラ傾向にあり，話し合いを求めるあなたの言葉に耳を貸す可能性は低いように思われます。
そうかといって，いきなり弁護士などの第三者を代理人として間に入れても，夫の態度が余計に硬化する可能性が高いのではないでしょうか。
そこで，家庭裁判所において，「夫婦円満調整調停」を申し立て，中立公平な家庭裁判所において，調停委員という第三者を入れて，もう一度家族の在り方を話し合う，ということなら，まだ穏当かもしれません。
弁護士などを代理人とする場合と，調停を行う場合との違いは，前者はあなたの代理人であり，後者は中立公平な裁判所における手続ということです。
調停では，貴方と夫が直接話し合うのではなく，必ず，間に調停委員を入れて，調停委員に対してそれぞれ話をすることになります。調停の中で，夫に，子どもへの接し方や，貴方への言動等を見直してもらえるように話をしてみてはいかがでしょうか。

仮に，離婚の方向で検討される場合は，夫のモラハラ的言動や子どもへの行き過ぎた叱責を「録音」すること，夫の財産（預金，有価証券，車，ローンなど）を調査しておくことをお勧めします。

離婚できるのであれば，離婚を先行した方がいいです。
生活保護を受給するには，役所の生活支援課に，生活保護の「申請」に行くことになりますが，その際に，資産がないことを示す必要があるので，（離婚後であれば）あなた名義の預金通帳を全て持参すべきです。また，糖尿病で働くのが困難なことを示すために診断書を取得した方がいいと思います。

婚姻関係が破たんし，夫婦関係の修復が見込めないといいうる期間として，少なくとも3年は必要と考えられます。
但し，これはあくまで原則であり，別居に至った事情や奥様のお考えによって，対応の仕方が変わるように思います。

今回の元夫のトラブルは，お子さんに対して危害を加えたわけではないので，今後一切面会交流をしない，とするのは難しいと思いますが，しばらくの間「直接の」交流をしないということは可能かもしれません。

すでに，面会交流について調停で取り決めているということなので，ご面倒かもしれませんが，再度，面会交流調停を申し立てて，今回の元夫のトラブルを申告し，「しばらくの間は間接交流のみとしたい」旨を主張したらいかがですか。

元夫を逆なでしたくないとのことですが，元夫が面会交流にこだわる人であれば，上記の申立てをすることで元夫の感情を害することは十分に考えられます。
家族に危害が及ばないように，とのことですが，元夫から危害を加えられそうな具体的な危険が生じたら，すぐに警察に通報し，その後保護命令申立を検討すべきでしょう。

不貞によりお子さんへの悪影響があったかどうかによりますが，不貞をしたからといって親権者になれないわけではありません。
不貞の頻度，相手と会っていた時間帯によりお子さんの監護に支障が生じていたり，お子さんが不貞相手とあなたとの逢瀬を見てしまったりしたら，親権の判断においてマイナスに働きますが，不貞はしていたものの，お子さんに知られることもなく，監護にも支障がなく，お子さんにとって「よいお母さん」であれば，不貞の事実は大きく影響しないと考えます。

親権より問題なのは，離婚できるかどうかではないかと思います。
夫は，あなたの不貞発覚後もあなたに性交渉を求めているところからしても，あなたに執着しているように思えます。そうだとすると，離婚には応じないのではないでしょうか。その場合，有責配偶者からの離婚請求として，通常の離婚請求より，認められるための条件が重くなります。

それでも離婚したいのであれば，まずはお子さんを連れて別居する，具体的には，ご実家に転居することから始めたらいかがでしょうか。

ご指摘のとおり，領収証等の「子の眼鏡を購入したこと」の資料を要求することは適切な対応です。

ところで，そもそも，一般的な価格の眼鏡の購入であれば，通常の養育費から支出すべきものではないかと思います。
仮に，眼鏡がそれなりに高額で通常の養育費からの支出が困難であるとして「特別の費用」として父母が支払うべきものであるとしても，その全額を父であるあなたの夫が支払わなければならないというのは不公平ではないでしょうか。

そのため，
まず，従前どおり，領収書などの「子の眼鏡を購入したこと」の証明を求め，その資料の提出がない限りは支払わないと返答すればよいと思います。
仮に，相手が資料を提出してきた場合でも，１，２万円程度であれば，通常の養育費から支払うべきとして突っぱねる，
他方，やたらと高額な眼鏡を購入していたとしても，購入の必要性，相当性を問題にして，さらにどうしても夫が払わなければならないとしても，双方の収入の比率に基づいて負担する，とすればよいのではないでしょうか。