ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

話し合いで離婚できるかは、妻に離婚に応じる気持ちがあるのか、離婚にあたっての条件（親権、養育費、財産分与、慰謝料等）がお互い合意できるものなのか次第ではあります。話し合いで離婚に合意できない場合は、有責配偶者からの離婚請求の問題となり、原則裁判所は離婚を認めません。例外的に認められるかは、相当期間の別居、未成熟子の不存在、十分な経済的給付を提案しているなど非有責側が苛酷な状況にならないか、が考慮されます。
いずれにせよ、妻がどう反応するかによりますが、すぐに応じる気はないということなら、通常よりも妻に有利な財産分与や慰謝料の提示をして合意に応じるよう働きかけてみるほかないかと思います。

本件のような事案は個別性の非常に高いものであり、結論としては急いでお近くの弁護士に直接相談することをおすすめいたします。そのとを前提にわかる範囲で回答します。

おっしゃるとおり、相手が応じない以上、監護実績が積み重なっていくことになりかねませんので、速やかに子の監護者指定・引渡の審判（あわせて審判前の保全処分）を家庭裁判所に申し立てることを検討すべきです。
計画書の提出は、それが直ちに有利な方向に働くかは正直何ともわかりません。出すことで任意に引き渡してくれるなら、それが一番ですので、その可能性にかけてみてもよいかとは思います。また、上記の家裁での手続きを起こす場合、相手の意向とは無関係に裁判所も今後の監護・養育の予定は聞いてきますので、それに備える意味で計画を立てることは有益かと存じます。

親権が父での離婚が不本意なら、この回答を見てすぐに役所に離婚届の不受理届を出してください(具体的なやり方が不明なら最寄りの役所で良いので電話して今すぐに届出の出し方を聞いてください。)。夫が離婚届を未提出なら、不受理届を出すことで夫を親権者とする離婚の成立をひとまず防止できますので。
万一、提出済みであった場合、後からの親権者変更は基本的に難しいと思ってください。合意により親権を父としている以上、後からの変更は、父に虐待とか、よほどの不適格な事情がないと原則は親権者変更は通りません。
繰り返しになりますが、とにかく、まずは離婚届が出されているかの勝負になりますので、この回答を見たら、上記のとおりすぐに役所に電話した上で不受理届提出の動きをしてください。

まだ面会交流の内容について合意ができているわけではないようですから、拒絶が直ちに問題になるとか違法になるという評価まではされないでしょう。現実的な対応としては、面会交流の回数や方法などのあなたの希望を夫に伝えてみてはいかがでしょうか。あなたの要望のとおりであれば面会交流を実施しても良いのであれば、提案しているわけですから不当に拒絶していることにはなりませんし、その段階ではいわば協議中の段階ということです。
それでも合意に至らなければ家庭裁判所で面会交流調停の中で話し合うことも検討することになります（多くの場合は面会したい側、今回だと夫が申し立ててくるものではありますが）。
当事者同士での合意や調停・審判で決まったにもかかわらず不当に拒絶を伝えつづけた場合は慰謝料請求されるおそれがあります。
また、今後親権争いになった際に面会交流に寛容かという点はひとつの考慮要素にはなります。この点も拒絶したから直ちに不利になるというものではありませんし、実施を前提に協議している分にはあなたの提案がよほど不合理でない限り問題にはならないでしょう。あくまで一要素として考慮される可能性はある、というところです。

すでに数年別居しており、相談者が子らを監護してきたのであれば、今後の生活設計や子らの進学などのために準備や転居することが何か不利に作用するということは考えにくいです。