ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

＞私はどのように動けばいいのか教えてください。
家庭裁判所に離婚調停を申し立てることです。
調停も協議ではありますので、妻が応じなければ離婚は成立しませんが、明確な離婚原因がなくとも、調停の場で離婚の希望や条件などを話し合うことで妻が離婚に応じるケースもあります。
調停は交互に部屋に入り調停員に対しお互いの言い分なりを話すというかたちで進みます。妻と直接話しをするわけではありませんので、ケースバイケースとしかいいようがありませんが、当事者同士直接では話ができなかった場合でも離婚に向けた協議ができる可能性はあります。
いずれにせよ、妻が連絡に応じない以上、早期の離婚を目指すなら次なる手段は離婚調停ということになります。
また、法的な離婚原因がなく調停では離婚成立せずとも、別居期間を積み重ねることで夫婦関係が破綻したとして訴訟で離婚が認められることもあります。その際に離婚調停をしていることは訴訟を提起するための前提条件になりますし（調停前置主義）、調停で離婚について主張、協議したことが破綻の有無の認定にプラスに働くこともあります。
繰り返しになりますが、離婚調停を申し立てたからといって必ず離婚が成立するものではありませんが、当事者同士の話し合いというところからステージを移すことで前向きな協議ができる可能性はあります。今すぐ調停すべきかなど具体的な動き方については何とも言えませんが、妻が連絡に応じない以上、離婚調停を検討するほかありません。

順番としては証拠の確保を先行すべきです。
お手持ちのものは、証拠として一定の意味はあるかもしれませんが、何か他の事情や証拠とあわさってでないと証拠としては弱いことが多いと思います。

親権については不貞の話しとは別で考慮されることになります。お子さんの年齢等にもよりますが、一番重要なのはお子さんの養育を中心に担ってきたのが父母のどちらなのかです。お子さんがある程度の年齢で同程度に育児してきたといった場合は、これまでの監護状況に加え、離婚後の監護予定（住む場所、教育、死後の兼ね合い、監護補助者の有無など）をどれだけ構築しておけるかがポイントになる場合もあります。

いずれの問題も具体的な事情にもよるところ大ですので、まずは面談相談を受け、今後の動き方を決めるところから始めるのがよろしいかと思います。

ご相談者としては、宿泊の経緯や可能であれば当該女性とのやり取り等を見せ、そのような関係でないことを説明するほかないかと思います。
しかし、相手がそのように出てきている以上、相手の意思は固いと思われますので、元通りというのはかなり難しいということを前提にすべきではあるでしょう。

親権は離婚時に決めるものなので、離婚調停や離婚訴訟の中できめていくことになります。ただし、相手方が監護する状況が継続しその監護に大きな問題がないとなれば親権判断の場面でそのことが相手に有利に働きえますので、親権を希望するなら離婚前に監護者指定及び子の引渡しの審判（あわせて審判前の保全処分の申立）を行い、離婚前に子の引渡しを実現しておくべきです。監護者や親権を得られるかは、お子さんの年齢、別居前の監護を主として行っていたのは誰か、具体的な生活状況の内容、別居後及び今後の監護の予定（監護補助者の有無等）によります。

一般論としては、一方が既婚者の場合の婚約は原則成立しませんし(双方離婚後に成立というのであれば別ですが)、中絶も双方の行為の結果ですので話し合いの結果そうなったのであれば、慰謝料の理由にはなりません。時効の可能性も確かにありそうです。
虚偽の吹聴というのがどういったものかによるところもありますが、勤務先に陳述書を出すという対応も疑問です。
事後に名誉毀損等を主張することもありえますが、ともかく被害が発生してからでは被害が回復できないということもあります。
インターネット上の質問回答という性質上、こちらでの回答には限界もありますので、依頼されるかは別として、一度お近くの弁護士にこれまでのやり取りを見せながら相談するのが良いかと思います。