難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

司法書士の方は不動産の名義変更の附属書類として添付する離婚協議書の作成は可能です。しかし、あなたの代理人として協議をすることや、離婚訴訟の代理人となることはできません。

詳細な時系列にもよろうかと思いますが、別居後同棲していること自体が不貞を示す事情となりえます。続けて借りているということも証拠にはなるでしょうが、同棲していることの方がより強く不貞を推認するでしょう。
別居に至る経緯、別居してからの期間、同棲を開始した時期等が重要ですが、ケンカにより別居、すぐに同棲なら、破綻と認められる可能性は低いと考えます。

現在生活されているのが、所有する物件なのか、賃貸物件なのか、そして、その名義が夫なのか相談者なのか、等でも議論の方向性は変わってきます。
とはいえ、記載の限りでは、夫が離婚を求めてくるとしても、その理由はせいぜい性格の不一致ということになるでしょうから、そうであれば夫が離婚調停、離婚訴訟と即座に法的に手続に出ても、別居もなく相談者側に明確な離婚事由がない限り離婚は成立しません。
もちろん、条件によっては離婚に応じられるということであれば、財産分与や離婚までの婚姻費用、離婚後の養育費の諸条件の内容によって、合意で離婚を成立させることも可能ではあります。
現在は、夫の主張が判然としていないようですから、まずは財産分与や婚姻費用、親権、養育費といった点について、どのように考えているか、夫から明確な提示があるまでは待ちの姿勢でよろしいかと思います。

離婚が成立するパターンは、
①協議離婚
②調停・審判離婚
③裁判離婚
があります。
①と②は相談者が応じない限り離婚は成立しません。
③のみ、法的離婚事由（民法770条1項各号）があることを前提に、一方の意思とは関わりなく離婚を成立させられます。
詳しい事情をうかがわないと分かりませんが、相談者の側に有責となる事由がなければ、夫が離婚を成立させるには③の中で夫婦関係が破綻したことを主張・立証する必要がありますが、そのためには離婚を前提に長期間別居するなどして、修復可能性がないことを客観的に示せる状況にしないと、単に離婚したいという夫の気持ちだけでは裁判官が離婚を認めません。

夫が本気で決意し、離婚を求めて行動してきた場合、いつかは離婚することになるでしょうが、相談者に有責事由がなく離婚に応じない限り、どんなに短くても離婚成立となるまでに数年は必要になると思います。

他の事情や証拠とあいまって不貞を推認できることはありえますが、検査結果が唯一の証拠だとすると、厳しい印象です。感染時期や感染経路がわからないと、様々な反論をされることが想定されるからです。

夫が不貞を認めるなら、それを証拠化(録音、書面)することは考えられますが、いきなり不貞しているかをぶつけても否定されてしまえばそれまでになってしまうので、やはりまずは出来うるかぎり他の証拠をつかめないかを考える必要があります。
手持ちの証拠や間接的な事情を組み合わせることで不貞と認定できる場合もありうるため、手持ちの武器で戦えるのか、おちかくの弁護士に直接相談することをおすすめします。