難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

不貞による離婚の慰謝料は数十万円から200万円程度とよく言われます。しかし、支払う必要がそもそもあるのか、支払うとしていくらくらいが妥当かは、詳しい事情をうかがわないとわからない部分があります。また、一般論としては不貞をした側からの離婚請求は（夫が応じない限り）裁判では原則認められないとされており、配偶者の同意をえるために通常より高額な慰謝料を提案することはあります。繰り返しになりますが、相談者の場合にどうかというのは安易に判断できません。この点の詳しい回答については、一度直接弁護士に相談されることもご検討ください。
さらに、一般論として不貞をした側（有責配偶者）からの離婚請求は認められないと書きましたが、不貞された側の配偶者が不貞を許した（宥恕した）といえるケースで不貞した側からの離婚請求が認められた（有責配偶者との主張を認めなかった）裁判例があります。何をもって宥恕といえるかは難しい問題ですが、これにあてはまるかということも検討の余地があるかと思います。

＞離婚裁判なら弁護士は必ず必要か？

制度的に必要的ということはありませんし、依頼せず本人で進め離婚成立している方もいます。
問題は、離婚成立の判断を得るための主張や証拠提出ができるかであり、それには法的な離婚原因や判例等の理解が必要な場合があります。それが本人でできる場合もあれば、注意して主張や立証を行わなければどちらにも転び得る場合もあるでしょうから、その見極めは必要です。

相手が応じれば短期間で離婚成立は可能ですが、応じない場合は離婚調停、離婚訴訟と進んでいくことになります。調停までの段階では、まずは相手が応じるかですし、お互い納得のいく離婚条件がすりあわせられるかによります。

基本的な考え方を示します。
財産分与→対象となる財産を基本的に2分の1ずつでわけます。対象となる財産は婚姻後に築いた財産です（預貯金、不動産、車等など）。婚姻前にすでに有していた財産、婚姻後夫婦関係とは無関係に取得した財産（例えば相続により取得した財産）は特有財産といって財産分与の対象外です。
婚姻後築いた預貯金が500万円あったなら250万円ずつ夫と妻で分ける、というようにします。
ケースによってはいつの時点の財産を分けるべきかという基準時の問題も発生することがあります。

養育費→裁判所が公開している算定表が参考になります。算定表では双方の収入、子の人数・年齢等により月の養育費を算出します。算定表にこだわらず当事者の合意で決めることも可能ですが、折り合いがつかないときは算定表を基準に定めるていくことになります。

弁護士の相談料、費用等→こちらは弁護士・事務所によっては異なりますし、どういった事案でどのような手続を希望されるのか等でも異なります。相談の予約や相談の際に個々の弁護士・事務所に聞いてみるのが確実です。また事務所によってはホームページに報酬の基準を記載しているところもあるので、そちらを参考にしてみるのもよいでしょう（繰り返しになりますが、個々の弁護士等によっても金額は異なり得るので、確実なのは直接確認されることです。）。

応じる義務などとはいうものはそもそもありませんし、あなたが拒否する限り夫が離婚を成立させるためには離婚訴訟で勝訴する必要があります。離婚訴訟で離婚の判決を得るためには法的な離婚原因ありと認定される必要がありますが記載のような事情で簡単に認められるものではありません．細かい事情にもよりますが不貞により不仲となったと主張立証可能なら夫は有責配偶者となるところ、有責配偶者からの離婚請求は原則裁判所は認めません(そのような趣旨の最高裁判例があります)。
したがって、ネットにて一概に言えるものではありませんが夫の有責性の立証が可能なら、とことん夫の請求を拒否し続ければ離婚は成立しない可能性が高いでしょう。

調停は欠席し続ければいずれ不成立となり、夫が離婚訴訟を起こせば上記のとおり不貞の立証がポイントになるでしょう。欠席するのが良いかは微妙なところですが、不貞のある程度確実な証拠があるなら無視して特に問題はないと思います。私見としては出席のうえ、あなたの意向や言い分くらいは伝えておいたほうが良いとは思いますし、調停委員を通じてあなたの意思が堅いことや判例により離婚成立が厳しいことが夫に伝われば少なくとも早期の離婚は諦めるかもしれません（証拠の有無・内容など手の内まで明らかにする必要はありませんが）。
以上の点は具体的な証拠の内容や事実関係がどのようなものか確認しないと正確なところは分かりませんので、より具体的なところはお近くの弁護士や相談会等で直接相談されることをおすすめします。

LINEや自白の録音で慰謝料請求が可能な場合はあります。
ただ、それらの内容が問題で、肉体関係があったことが推認できるものであることが必要です。
LINEで肉体関係を示唆するようなやりとりがなされているか、自白の内容の具体性や自白を裏付ける事実や証拠があるか、といった点がポイントになるかと思います。