婚姻関係破綻後の不貞は慰謝料請求の対象とならないといった裁判例はありますが、破綻と認められること自体がそれなりに高いハードルで簡単には認められません。離婚調停中ということで破綻の可能性ももちろんありえますが、別居前後の詳しい経緯によるので、詳しくは直接お近くの弁護士に相談された方がよいと思います。
今後も夫が調停に出席しないなら、いずれ調停は不成立となり、さらに離婚を求めるなら離婚訴訟を検討することになりますが、離婚訴訟では法的な離婚事由が必要となり、ＤＶの点だけで十分かもしれませんが、前妻との今の関係が立証できれば離婚訴訟を有利に運べる可能性があり、破綻の有無とあわせて、この点も上記のとおり弁護士に相談されることをおすすめします。

離婚せずに5年経過した背景事情やその間の過ごし方にもよるかと思いますが、子どもの年齢等、時間も経過していますし、配偶者が同意すれば別段、全くそのままでというのは難しいかもしれませんね。
そもそも配偶者が離婚に応じるかという点が何よりも重要です。配偶者が離婚を拒むなら、結局は拒む理由や望む条件から話し合う必要があります。

>この程度の証拠では、不倫関係とはいえないのでしょうか？
実物を拝見しないと分からないところもありますが、記載の限りでは、それだけで不貞があったと立証することは難しいように思います。
記載されているとおり不貞とは基本的には肉体関係のことなので、典型的には同じ部屋に2人で宿泊したであるとか、肉体関係が推認できるくらいの親密さを示すメール等のやり取り等の証拠は必要です。
アーカイブの中で交際しているといった発言があれば別ですが、通常は誰でも見られる配信の中でそういったことを言うことは期待できないのではないでしょうか。
ある程度強い証拠を得るには探偵への依頼等を検討するほかないように思います。

迫られているといっても、離婚する・しないは当然本人が判断すべきことですし、離婚届を提出するには本人が署名する必要があります。勝手に署名したりすれば、離婚自体無効ですし、私文書文書偽造になってしまいます。
精神疾患により判断能力自体を欠くという状況であれば成年後見人の選任を家庭裁判所に申立て、調停・訴訟で離婚を成立させるということはありえます。しかし、これは離婚を希望する夫の側で進めていくべきことでしょう。

離婚や後見人の話は別段、病態の把握や今後の対応方法、場合によって治療につなげるという意味では、役所の相談窓口や精神福祉センターに相談することや、福祉課等に相談してみたり、精神科の家族相談を受けることを検討してみてください。

離婚の流れは、協議、離婚調停、離婚訴訟と進んでいきます。
協議及び離婚調停では、双方離婚に「合意」できるなら理由の如何に関わらず離婚は成立します。
離婚調停でも合意できなかった場合、離婚を成立させるには離婚訴訟によることになります。離婚訴訟で離婚の判決が出れば離婚となりますが、そのためには法定の離婚事由（民法770条1項所定）が必要です。性格があわないという点は同項5号の婚姻を継続し難い重大な事由に該当するかの問題となります。一般論としては単に性格が合わないというだけでは同号には該当しないと判断されるでしょう。性格が合わないことによって、具体的に夫婦関係にどのような支障が生じているのかが重要になります。これについても、結局は判断にあたって別居などの事情がないと実際は難しいでしょう。
また、現時点では離婚訴訟で離婚成立させるだけの材料がないという場合は、一定期間別居することで夫婦関係が破綻したとして離婚が認められる場合があります。同居したままだと客観的に破綻しているかが分かりづらいので同居したまま離婚が認められることは稀です（家庭内別居の場合二世帯住宅のように物理的に居住空間が区切られ完全に別々の生活をしていたような状況。それでも結局は一定期間の状況の継続は必要）。

お互い同意して離婚できないなら、家庭裁判所での離婚調停、調停が成立しないなら同じく家裁での離婚訴訟で離婚の判決がもらえば離婚できます。
調停もお互いの合意は必要ですが、調停員や裁判官という第三者を通じての協議となり、初めは一方が拒絶していても、お互い冷静になったり、ある程度調停員がアドバイスしてくれることなどで離婚成立となる場合があります。調停でだめなら訴訟を起こします。訴訟では裁判官が法的な離婚原因アリと認めてくれるかがポイントになります。すでにある程度の期間別居されており、同居期間、別居の理由・経緯、別居期間中のやり取りの有無・内容等によってはすでに婚姻関係が破綻しているとして離婚が認められる可能性があります。

大まかな流れとしては（相談者が婚姻時に氏を変更している前提）、下記になります。
離婚届を提出、相談者の新たな戸籍を作る。
子が家庭裁判所に氏の変更の許可審判を申立。
許可審判が出たら、役所で相談者の新しい戸籍に入るための入籍届を出す。

家庭裁判所の審判というと、何かいかめしい感じがするかもしれませんが、書類審査ですし、時間帯や書類の不備の有無によっては即日判断が出ます。

タイミングについては特に気にすることはありません。ご家族で良いタイミングでされれば大丈夫です。