ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

婚姻して、やはり気が合わなかったから離婚となってもそれで慰謝料が発生するものではありません。むしろ、合わないことがわかって婚姻したとなれば、なおさら難しいです。離婚をするにも、基本的に相手の合意が必要です。離婚訴訟で離婚の判決をもらえれば可能ですが、婚姻後の事情も関係してきます。最終的に離婚できたとしても、何年も先ということも十分ありえます。また、首尾良く離婚できたとしても、お子さんをどうするのでしょう。

出産するか婚姻するか、最終的には相談者ご自身の気持ちや考えが重要で、押し切られるかたちだったとしても、応じるかたちになれば、後から相手を責めても、そうはいっても相談者も最後は応じたんでしょうと言われてしまいます。
特に出産は、出産後のお子さんの生活や人生のことも考える必要があります。
今H相手からも色々言われて大変な状態かと思いますが、相手の言っていることから離れて、ご自身、さらにはお子さんの人生にとっての決断というところに立ち返り、冷静に考える時間が必要なのではと思います。
弁護士に全ての回答が出せるものではありませんが、例えば出産・婚姻した後の想定される法律問題、といったかたちで、一度直接弁護士に相談してみるのもよいかもしれません。

養育費はお互いが合意すればその金額で決めることはできます。その場合に、現実の生活費等の内訳を参考に決めることはありえるとは思います。しかし、合意ができない場合は裁判所の算定表を用いて決めることになります。算定表は双方の収入を元に金額がきまるようになています。算定表自体は、過去の事例や統計等をもとに金額を算出しているので、実際の生活費が算定表上の金額以下かどうかは通常問題にされません。
相談者としては、算定表にしたがって金額で決めることを希望したい、その場合の金額は記載の金額、ということを伝えればよいです。

裁判所の算定表と記載の情報に従えば、相当な範囲の金額で不当に高いということはありません。算定表は書籍や裁判所のホームページでどなたでも閲覧できるのでご自身でも確認してみてください。

また、調停成立後に減額（増額）請求すること自体は可能ですが、調停成立時には予見できなかったような収入の増減があったなど、一定の根拠がなければ認められません。

大前提として、その男性が子どもたちを認知していることが必要になります。もし、認知がまだなら、任意認知を求め、拒否するようなら家庭裁判所での認知調停、認知訴訟と進むことになります。
認知済み、あるいは任意認知に応じるとなれば、公正証書の作成は可能ですし、公正証書を残すことが望ましいです。口約束や当事者同士だけで作成した書面だと、未払いになった際にすぐに強制執行（口座や給与の差押）ができませんので。
もし、認知成立後、相手が養育費の支払いに応じないなら、やはり家庭裁判所で養育費の調停・審判をおこなうことになります。

公正証書では、月ごとの養育費の金額、始期と終期（いつから支払が始まり、いつ終わるのか）、特別費用について（例えば私立大学に進学する場合の学費の扱いなど）等を決めるのが一般的です。

法的に養育費を請求し、かつそれが裁判所に認められるには「認知」成立が大前提となります。
相手が任意に認知しないなら、家庭裁判所で認知調停、調停不成立なら認知訴訟を提起することになります。

養育費について、金額は双方の収入で決まるため、相手が自営業でどの程度の収入があるかという点は確かに問題になることはあります。相手に収入資料の提出を求めることは必須になるでしょう。最悪、収入がない場合に回収が困難となることは否定できません。しかし、それは、請求の果てに相手の収入や資産がどうであったかによるところであるため、初めから請求を諦めるべきではありません。

公正証書や調停・審判で養育費が決まっている場合は過去の未払分に遡って請求可能（その場合でも消滅時効の問題はある）ですが、そうでないとするとご記載の内容を読む限りでは遡っての請求をしても相手が任意に支払わない限り裁判所の審判等で認められることはないと思われます。
裁判所は調停の申立時点や内容証明郵便での請求等、請求の意思や内容がはっきりした時点からの養育費を認める扱いをしているので、少しでも早く養育費の調停を申し立てることを検討されるのがよろしいでしょう。