ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

司法書士の方は不動産の名義変更の附属書類として添付する離婚協議書の作成は可能です。しかし、あなたの代理人として協議をすることや、離婚訴訟の代理人となることはできません。

LINEのやり取りや写真は、それらのスクショや画面を撮影した写真があるなら民事訴訟で証拠として使うことは可能です。妹さんが見たという点も証言や陳述書として証拠として出すことは可能でしょう。不貞が立証できるなら、慰謝料や離婚請求は可能です。ただ、それらで十分な証拠となるかは実際のLINEのやり取りなどを拝見しなければわかりません。
上記のとおり、現時点証拠が十分か不明確なので、他に証拠を取る必要があるかや今後の動きを決める前に不貞を問い詰めるなどすると、言い訳したり、ごまかしたりする機会を与えるだけになるおそれがあります。
妹さんの親権は、これまでの監護状況などにもよりますが、中学生ということで裁判等で争うことになった場合、妹さんの意向もかなり参考にされるでしょう。

やはりまずは証拠の内容が重要ですので、弁護士に直接相談し、手持ち証拠も見せ、今後の方針を立てることかと思います。

苗字(姓、氏)を変える申立ができるのは、変更しようとしている氏の戸籍の筆頭者です。第三者が変えさせることはできません。
そのような理不尽な要求をしてくる人にはそもそも言っても無駄かもしれませんが、例えば表記・表音上は同じ「佐藤」という苗字でも別々の戸籍になっている場合、法的には別の氏と考えます。相手の理屈が通るなら、身の回りにいる「佐藤」さんにも変更を要求できることになってしまいますね。法はそんなことを許容していません。よって、無視して良いです。

「こうすれば」戻ってきてもらえる、という回答があるジャンルの物事ではないように思います。
反省や気持ちを伝えるなら、何度も連絡したりすることは逆効果かと思います。なぜ出て行ったのか、それに対して何ができるのか、慎重に考えて、ご自身の考えや気持ちをまとめたものを送る(手紙、メール)くらいでしょうか。

ただ、警察や児相の介入があるなかで、簡単に戻ってくることは正直考えにくいです。戻ってきてほしいとか、離婚回避ということを大上段に掲げてしまうと、相手からすれば問題の本質を理解していないと捉えられるおそれもあるでしょう。短期的な解決ではなく、長期的な視野に基づき、すぐには難しくても面会交流を実施できないか、お子さんとの関わり方がないかを模索すべきなのかもしれません。

証拠については実際のものを確認しないと何とも言えません。
話し合いをどう進めるかは、まずは相手に請求を行い、相手の反応を見てみるほかありません。しかし、相手が不貞を認めず支払を拒む場合、最終的には訴訟で不貞を立証できるか等が問題になりますので、やはり証拠の内容がどうかがポイントになります。証拠不足の場合に先走って請求をしてしまうと、相手が警戒して新たな証拠の取得が困難になる可能性もありますので、ともかく、まずは証拠が十分なのか、不足するなら新たな証拠取得が可能かといったことを、相手に連絡する前に検討すべきです。