ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

婚姻関係破綻後の不貞は慰謝料請求の対象とならないといった裁判例はありますが、破綻と認められること自体がそれなりに高いハードルで簡単には認められません。離婚調停中ということで破綻の可能性ももちろんありえますが、別居前後の詳しい経緯によるので、詳しくは直接お近くの弁護士に相談された方がよいと思います。
今後も夫が調停に出席しないなら、いずれ調停は不成立となり、さらに離婚を求めるなら離婚訴訟を検討することになりますが、離婚訴訟では法的な離婚事由が必要となり、ＤＶの点だけで十分かもしれませんが、前妻との今の関係が立証できれば離婚訴訟を有利に運べる可能性があり、破綻の有無とあわせて、この点も上記のとおり弁護士に相談されることをおすすめします。

現在生活されているのが、所有する物件なのか、賃貸物件なのか、そして、その名義が夫なのか相談者なのか、等でも議論の方向性は変わってきます。
とはいえ、記載の限りでは、夫が離婚を求めてくるとしても、その理由はせいぜい性格の不一致ということになるでしょうから、そうであれば夫が離婚調停、離婚訴訟と即座に法的に手続に出ても、別居もなく相談者側に明確な離婚事由がない限り離婚は成立しません。
もちろん、条件によっては離婚に応じられるということであれば、財産分与や離婚までの婚姻費用、離婚後の養育費の諸条件の内容によって、合意で離婚を成立させることも可能ではあります。
現在は、夫の主張が判然としていないようですから、まずは財産分与や婚姻費用、親権、養育費といった点について、どのように考えているか、夫から明確な提示があるまでは待ちの姿勢でよろしいかと思います。

＞暴力、暴言、モラハラ等を妻から受けていたこと
⇒この内容がどのようなものか、それらを裏付けるものが間接的なものでもよいのであるかどうか（診断書、写真、録音、日記、LINEやメールで誰かに相談したもの等など）。

飼い犬については、飼い始めたのが婚姻後なのか、前ならそれを示す証拠の有無。
ざっくりですが、上記のような事柄や証拠が問題になると予測します。

離婚の当事者は、あくまで兄本人とその妻であるため、兄が受け入れてしまうならどうしようもありません。そうした条件を受け入れるのが兄本人にとってうけいれがたいことなのか等、ご本人に考えてもらうしかありません。周囲の方が弁護士に相談してアドバイスをもらうのも選択肢ですが、やはり一度ご本人が直接弁護士への相談を行い、考え方や今後の方針を整理してもらうことに尽きるかと思います。

親権は離婚時に決めるものなので、離婚調停や離婚訴訟の中できめていくことになります。ただし、相手方が監護する状況が継続しその監護に大きな問題がないとなれば親権判断の場面でそのことが相手に有利に働きえますので、親権を希望するなら離婚前に監護者指定及び子の引渡しの審判（あわせて審判前の保全処分の申立）を行い、離婚前に子の引渡しを実現しておくべきです。監護者や親権を得られるかは、お子さんの年齢、別居前の監護を主として行っていたのは誰か、具体的な生活状況の内容、別居後及び今後の監護の予定（監護補助者の有無等）によります。

離婚届提出ご、相手が法務局で申請をすれば離婚届を見ることはできます。