別居５か月目に離婚調停を申し立て，すでに不成立で終わったということでしたら，次は，離婚訴訟を提起することになります。
気になるのは，「不貞行為を認めるという書面」を送った，という点です。
これは，夫に対して，「元夫と不貞をした」という内容の書面を送ったという意味でしょうか。
それは事実なのか，夫に離婚を認めさせるために嘘なのか，どちらでしょうか。

貴方が離婚を希望する理由は，いずれも証拠があるようなものではないと思いますが，同居期間が５か月と短いこと，すでに別居して７か月が経過していることを考えれば，離婚訴訟において婚姻関係破綻が認められる可能性があるように思います。

そのため，元夫との間に不貞関係がないのであれば，離婚訴訟で争ってもよいと思います。

息子さんたちは，夫よりあなたと生活することを望んでいますか？
仮に，そうであれば，あなたがお子さんを連れて別居したうえで夫に離婚を請求した場合，離婚に際し，夫が親権を争ってきても，裁判所はあなたを親権者として指定する可能性が高いと考えます。

次に，マンションの売却ですが，「今日労名義でローンを組んだ」とのことですので，おそらく，所有権についても共有ということですよね。そうだとすると，売却には当然共有持分権者である夫の同意も必要です。また，抵当権者が抵当権抹消に応じてくれることも条件になります。要は，抵当権の被担保債権（残ローン）を一括で返済してしまう必要があります。上記２つの点をクリアできれば，売却は可能です。

慰謝料については，モラハラの証拠の有無の点のほか，証拠があっても，その内容が，誰が聞いてもこんなことを言われたら精神的苦痛を感じる，一般的に我慢の限界を超えているといえるレベルであることを要すると考えます。要は，単に高圧的だとか命令口調というにとどまらず，聞いていてうんざりするような人格否定，罵倒等を要するということです。

オンラインではなく，電話会議による調停への参加は可能です。調停申立ての際に電話による参加を希望する旨を，別途，上申書などに記載しておくと対応してくれます。

家庭裁判所で行うのは，「相談」ではなく，「調停」という，「調停委員」という立場の第三者を交えた「話合いの手続」です。

夫は不貞していて，離婚を求めているということですが，あなたも離婚には同意しているのでしょうか？
仮にあなたが離婚したくないとお考えなら，離婚したくないと主張すべきだと思います。その際は，夫の不貞の証拠を収集しておくことをお勧めします。

他方，双方が離婚することに合意していて，その条件が問題になるのであれば，夫との話し合いがうまくいかない，又は，話し合いが難しそうであれば，家庭裁判所の離婚調停を利用するのがよいと思います。

モラハラ夫に長年苦労されていたのですね。大変でしたね。
夫があなたの家に来て迷惑しているのでしたら，ドアを開けず，玄関ドア越しに「帰ってほしい。」と告げ，それでも退去しなかったら警察に通報してください。

ご実家には，ずっといられるのでしょうか。
そうであれば，一つの方法として，弁護士に依頼し，弁護士から夫に通知を出して，これからは当該弁護士が窓口になること，あなたとお子さんには直接連絡，接触しないでいただきたい旨を伝えて牽制する，ということが考えられます。
その上で，弁護士を通じた離婚条件の調整，調整がつかないようなら離婚調停，といった流れになるかと思います。

「調停離婚」のためには，まず，家庭裁判所に調停申立書を提出する必要があります。
親権，養育費，財産分与をご希望ということですので，調停申立書にその旨を記載します。
なお，調停が成立した場合，家庭裁判所が「調停調書」という書面を作成しますので，別途，公正証書を作成する必要はありません。調停調書は，いわゆる裁判の判決と同一の効力がある強力な書類です。

調停申立てには，戸籍全部事項証明書が必要になるため，取得しておくことをお勧めします。

調停申立てや調停手続での主張や発言に自信が持てない場合は，弁護士を代理人とすることも一つの考えです。

「今回の調停で確実に離婚を決めたい」とのことですが，そもそも，調停というのは，裁判所が何らかの結論を下す手続ではなく，双方当事者が話し合いを行う手続なので，夫が同意しない限り「調停で」離婚をすることはできません。

調停不成立後，離婚訴訟を提起すれば，裁判官が離婚が認められる，認められないの結論は出してくれます。
離婚訴訟で「確実に離婚を決めたい」のであれば，別居を先行すべきです。
前回の離婚調停で，夫は離婚を拒否したとのことであり，離婚訴訟を提起しても離婚を拒否する可能性があるため，「別居」という事実を作っておく必要があります。できれば，３年は別居してからの離婚訴訟が望ましいです。

次に，「私だけ別居する決意もあります」「その場合親権は夫にいってしまうのでしょうか。」とのことですが，訴訟で親権が争われた場合に，夫を親権者として指定される可能性はありますが，絶対ではないと思われます。逆に，あなたが親権者として指定されるかどうかも不確実です。
子どもにとって，どちらの親に親権があった方がよいか，という視点で判断されますので，あなたが子供を置いて単身別居した，という事態はあまり好ましくはありません。もっとも，別居後も密にお子さんと関わっていれば，親権が認められる場合もあると思います（絶対ではありません）。
そのため，可能であれば，別居の際にお子さんも連れていくべきですが，それが無理なら，別居後もくまなくお子さんの世話をして，世話をしている証拠を作っておくべきではないかと思います。

養育費の点ですが，養育費は，親権がある親にではなく，実際に子どもを監護（子どもの世話など）をしている親に対して支払われるものです。
そのため，夫が言う「一緒に住んでもいない子どもに養育費なんて払わない」というのはおかしなことです。
あなたが，離婚に際し，お子さんたちと離れて生活していた場合，夫が「監護権者」となるので，あなたの親権の有無にかかわらず，あなたが夫に対して養育費を支払うべきこととなりますので，ご注意ください。