「適切な財産分与」をご希望ということですので，まずは，夫名義の財産の調査をすべきでしょう。
要は，夫名義の預金口座の情報(どこの銀行のどこの支店，どういう預金で残高いくらか)，株式等有価証券の情報，加入している生命保険など保険の情報(解約返戻金が発生するもの)などです。

現在の車に買い替えた際に２０万円をあなたが出していることを主張したいのであれば，その事実を証する何らかの資料が必要になります。

あなたが離婚後も車を保有していたいというご希望についてですが，夫の財産がそれなりにあるのであれば，可能なように思われます。逆に，ほとんど資産がなく，車くらいしかない，ということだと難しいです。

年金分割については，あらかじめ「年金分割についての情報通知書」を取得しておくべきです。あなたか，夫，いずれかの基礎年金番号があれば，通知書の申請は可能です。但し，申請すると，郵送で届くので，夫に見つからないようにすべきでしょう。

慰謝料については，夫の暴言を録音しておくことをお勧めしますが，あまり慰謝料額には期待しない方がいいです。

慰謝料の金額が１００万円が相当か否かについてですが，お話の内容からすると，「離婚せざるを得なくなったこと」に対する慰謝料，ということですよね。
一般的にそれが妥当かどうかより，あなたのお気持ちが１００万円で納得できるかどうかで考えた方がいいのではないでしょうか。

そもそも，あなたに離婚する意思がないなら離婚に応じる必要はないのではないでしょうか。
別居が続けば，いずれは離婚せざるを得なくなるのはたしかですが，今すぐ応じる必要はないでしょう。
犬，猫の飼育代が不安であれば，今すぐ離婚するよりも，夫に生活費(婚姻費用)を求め，離婚しなければならなくなるまでの間，しっかりお金を支払ってもらったらいかがでしょうか。もちろん，離婚するまでの間になります。
他方で，離婚した後犬猫の「養育費」をもらうことはできません。人間の子ではないからです。
養育費ではなく，合意で，今後かかるであろう飼育代の半分を支払ってもらうということは考えられますが，夫が応じなければ，そのような合意はできません。人間の子と違って，養育費の支払を強制することもできません。

ところで，なぜ，夫が請求に離婚を求めてくるのか，思い当たることはありますか？
例えば，夫に疑わしい女性関係はありますか(夫に女性関係について直接尋ねるべきではないので，ご注意ください)。
あなたの話をうかがう限りだと，何故，夫が突然離婚を求めるようになったのか，有無を言わさず実家に帰ったのかまるでわからないため，女性関係かなと思いました。

１　慰謝料
　　可能ですが，夫が争って，裁判などになった場合，裁判所が認定する金額は，あなたが想定している金額より低くなるかもしれません。
２　１千万円の返還の必要
　　自宅購入の際，夫の両親から資金援助を受けている点については，財産分与において考慮すべきことであり，夫に対して「返す」必要はないです。
旅行に連れて行ってもらった点についても返還の必要はないです。夫の給与は，あなたが家事育児等で協力していたからこそ得られたと考えられます。夫の給与から旅行費用を支払ったとしても，そもそも夫の給与は，夫婦が協力して得たものであるので，あなたが後ろめたさを感じる必要はありませんし，返還の必要もありません。
３　公正証書作成
　　公正証書の作成は，夫とあなたが事前に公正証書にする内容を合意しておく必要があり，２人で公証役場に赴いて署名押印をする必要があります。要は，夫の協力が不可欠となります。お話をうかがっている限り，なかなか夫の協力を得るのは難しいようにも思われますが，いかがでしょうか。
４　親権の獲得
　　あなたがお子さんたちの育児を主に担当しており，その育児に特段の問題がなければ，親権の争いになったとしても，あなたの方が有利な立場にあると考えられます。
５　適切な財産分与
　　お互いに財産を開示するところから始めることになります。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。

元夫の「いいわけ」は，自らの債務を承認するような内容だったのでしょうか。
解決金105万円が全くの未払いなようなので，消滅時効の点から気になりました。

さて，難しい状況ではありますが，「預金があるわけがない」のであれば，元夫の預金を調べても空振りに終わる可能性が高いように思いますので，現在の勤務先が判明しているのであれば，とりあえず養育費について給与差押えをした方がよいのではないでしょうか。
給与差押えをすれば「すぐに職場を変える」のではないかとのことですが，元夫は再婚して妻の実家に居住しているということですから，そう簡単に転職できないようにも思います（養育費未払のことを妻に伝えていないなら，転職の理由も説明できないでしょう）。

内容証明郵便を送るのも一つのやり方であると思いますが，再婚した妻やその親が知った場合，どのような行動に出るのか分かりませんし，無視されることもあるでしょう。
そのため，給与差押えが一番効果的なように思いました。
差押後，転職されてしまったら，再婚した妻の家に内容証明郵便等を送るなど，他の方法を検討したらいかがですか。

そもそも，いったん合意した養育費額は，その後に減額の合意等がない限り，当初の合意に基づく支払いの義務があると考えます。
現在の夫と娘さんが養子縁組をしたこと，元夫が再婚相手との間に子が出生したことは，元夫の支払うべき養育費額に影響を与える事実ではありますが，法的にそうであることと，当事者間で取り決めをした内容はイコールでなくてもよいわけで，当初の合意がそのまま効力を持ちます。

現在，「公正証書で取り交わした月々の養育費よりもかなり減額した額で支払ってもらって」いるとのことで，あなたと元夫との間で，月々の養育費については事実上又は黙示の減額の合意がされていると考えることはできますが（そこも争う余地はあるかもしれません），一時金については，特に減額または支払わない旨の合意はされていないのではないでしょうか。
そうであれば，少なくとも一時金については，支払いを求めてもよいと思います。

元不貞相手（以下，Aとします）からの請求内容にもよるとは思いますが，おっしゃるとおり，Aの代理人とその妻（Bとします）の代理人が同一人物なのは，違和感を抱きますね。

事実関係の把握が困難なのですが，
１　あなたは以前Aと交際していて，そのことがAの妻であるBに判明した
２　その後，あなたはBから「訴えるつもりはない。他に相談できる人がいない。」などとして相談を受けていた
３　そうしたところ，それがAに知られることとなり，Aから「Bの方から慰謝料請求する。」と伝えらえた
４　しかし，その後，「Aから」内容証明郵便が届いた
ということですか？

Aからの内容証明郵便は，何を目的とするものでしょうか。
そして，Aは，なぜあなたとBが話をしていることに激怒したのでしょうか。
もう少し背景事情が分からないと十分な回答はできません。