弁護士に依頼することが前提となりますが，弁護士であれば，⑴支払義務者（元配偶者）の住民票上の住所，⑵携帯電話番号が変更されていなければ，携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。
ただ，いずれの手段もある程度時間がかかるのと，⑴については，住民票上の住所と現住所とが一致していなければ意味がなく，⑵については，携帯電話業者の登録情報に現住所が記載されていなければ意味がないことになります。
その点を踏まえた上で，それでも調べたいというのであれば，弁護士に支払義務者に対する養育費の請求を依頼するのがよいと思います。

元妻が再婚し，再婚相手が息子さんと養子縁組をしたとしても，あなたの息子さんに対する扶養義務がなくなるわけではありません。あなたが実父であることに変わりはなく，引き続き息子さんに対し扶養義務を負うからです。

もっとも，現在，息子さんと一緒に生活している元妻夫婦があなたに先んじて息子さんに対して扶養義務を果たすべきであると考えられますので，養育費の「減額」を求めるのは当然に可能でしょう。「減額」が０円まで減らせるかどうかは，事情によるということになります。
そのため，元妻が養育費の支払い免除又は減額を受け入れないのであれば，養育費減額調停を申し立てるべきということになります。調停の中で，元妻夫婦の収入資料を提出させることになります。

あなたの現在の奥様の収入が考慮されるのか，については，あなたたち夫婦の間にも子がいて，２人で扶養していることから，息子さんに対する適切な養育費額を算定するにあたり，問題となるだろうと考えられます。

親権の争いとなった場合，同居中の主たる子の監護者が誰だったか，現在の監護状況はどうか，お子さんが10歳以上の場合お子さんの意思はどうか，といった観点から検討されます。

これまで，あなたが主にお子さんの面倒を見てきたというのであれば，別居に際し，あなたがお子さんを連れて行って，母子楽しく生活できるのであれば，親権を取れる可能性は高いのではないかと思います。

夫と別居したい，離婚したいというお気持ちは理解できるのですが，別居した後の生活，主に経済面についてどれくらい具体的に検討しているかが重要ではないかと思います。別居に踏み切るのであれば，その前に，具体的にどのような収入を得て，どの程度の支出が生じるのか，シミュレーションしておくべきだと思います。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

養育費は，「未成熟の子」に対する扶養義務が根拠になります。
未成熟，とは，平たく言えば，学生の間と言えるかもしれません。要は，経済的に独立していない，できない状態ということです。
そのため，娘さんが大学を卒業した以上は，未成熟とはいえないため，養育費の支払義務はない，と言えます。

なお，「障害等で就職が困難」等の理由で要扶養状態の子がいる場合は，養育費ではなく，扶養一般の問題になると思います。

１　出産費用について
　　請求される可能性があります。しかし，出産一時金の申請をしていて，一時金の給付を受けたのであれば，その分は控除すべきではないかと思います。
２　過去の養育費について
　　これまで養育費について何ら取り決めがなく，相手の女性からも請求がなかったのであれば，原則として，過去の養育費については支払う必要はありません。
３　今後の養育費について
　　まだ養育費について取り決めていないのであれば「減額」というのは適当ではないです。
　　おっしゃりたいのは，減額された今年の給与を基準に養育費を取り決めたい，ということだと思いますので，昨年分の源泉徴収票を提示しつつ，本年の給与明細を示し，昨年の給与から減額されたことを証明すべきだと思います。