慰謝料請求は可能ですが，その原因となる事実は，「夫が既婚者と知りながら不貞行為に及んだこと」になります。
他方で，不貞相手が「子どもに連絡したこと」は，あなたが不貞相手に対して請求する慰謝料の原因にはなりません。

夫と不貞相手との間の子は，「養育費や条件を決める」ということですから，夫も認知をしているということですよね。
認知により，夫には，その子に対する扶養義務(養育費を支払う)を負担することになりますが，他方で，「親権」があるわけではありません。
そうすると，その子の監護養育は，不貞相手において行うべきということになろうかと思います。
そのため，不貞相手から子を引き取れと言われたとしても，夫には応じる義務はないと考えられます。
まして，あなたは，その子に対して何ら責任や義務を負担していないため，その子が育児放棄された場合の心配までしなくてもよいです。もちろん，倫理的，人道的には，育児放棄されたら子がどうなるのだろうと思いますが。

不貞行為そのものについては夫も女性も「認めていた」ということですので，不貞の証拠もお持ちなのでしょうから，法的には，慰謝料請求は可能です。
しかし，法的に請求可能だからと言って，相手から回収できるかどうかは別問題です。

仮に，相手の女性があまり資産を有していなかったとすると，回収は困難に思います。障害者枠で働いているということは，収入は決して高くはないでしょうから，方法としては，長期の分割払いによる回収でしょうか。
彼女の父親が裕福であっても，父親が娘の債務を代わりに支払う義務はないので，父親には期待しない方がいいです。

ご質問にある「被害届」ですが，すでに警察には４回通報しているということですので，その時の担当の署員に相談してみてはいかがでしょうか。

夫に対する慰謝料請求なら可能と思われますが（ただし，証拠の内容次第です），相手の女性の名前や住所が分からなければ，そもそも慰謝料請求自体ができません。

１　親権
　　父母いずれが主な監護者（お子さんの世話をする人）といえるか，主な監護者による監護が適切といえるかが重要な判断基準となります。
　　奥様が「昨年度から」「家事，育児にも参加しなくなりました」とのことですが，①奥様が現在どのような生活をしているのか，②奥様はお子さんたちと日常的にどのようにどれくらいの時間触れ合っているのか，③育児につき「私と私の両親が子どもの世話をしている」とのことですが，あなたご自身はどのような育児をされているのか，④お子さんたちは奥様のことをどのように思っているのか，がポイントではないかと思います。
　　ご留意いただきたいのは，奥様との間で離婚の話になった場合に，奥様がお子さんたちを連れて別居するおそれがあるので，それを断固阻止しなければならないということです。仮に，昨年から奥様が育児を一切行っていなかったにしても，お子さんの年齢からすると，奥様がお子さんを連れて別居に踏み切った場合，あなたが親権者，監護権者となることは困難となる可能性が高いです。
２　慰藉料
　　奥様の不貞の具体的な証拠がないとのことですね。
　　奥様が不貞の事実を認めるのであれば，証拠は必ずしも必要ではありませんが，通常，不貞を認めることはないでしょう。
　　奥様のお姉様の証言だけだと証拠としては弱いと思われます。
　　お姉様が協力してくださるのであれば，奥様に対し，LINE等で具体的な不貞についての事実関係を尋ねていただき，奥様の回答を証拠とする，というのは一つの方法かもしれません。また，奥様が，現在もその相手と不貞関係にあるのであれば，直接的な証拠を取得する可能性もあるかもしれません。
３　養育費
　　あなたが，お子さんの親権者，監護権者となれば，当然奥様に対して養育費の請求が可能です。

夫のＬＩＮＥのうち，一般的に見て，女性との肉体関係の存在を推認させる内容のトークを，日付が分かるようにして撮影し，証拠を収集すべきですね。
夫の不貞の責任を追及したいなら，まずは言い逃れができないような証拠を集めておくことが重要です。

そのうえで，離婚調停を申し立てるのが良いと思います。
不貞の証拠を突き付けても，モラハラ傾向がある夫は，開き直ったり，ＬＩＮＥを見るのはプライバシー侵害，等と非難してきて，話し合いにならない可能性が高いと思われますので，そうだとしたら，最初から調停を申し立てるか，別居したうえで，代理人を立てて代理人から請求してもらう，といった方法がよいのではないでしょうか。

気になるのは，夫に借金がある（又は，以前あった）ということから，夫には慰謝料を支払うお金がないのではないか，ということです。
不貞の証拠を収集し，裁判等で主張することで，法的に夫に慰謝料支払義務を認めさせることはできたとしても，夫に資産がなければ回収が難しくなります。分割払いにする約束をしたところで，いつまで支払ってもらえるか確証はありません。そのため，どのように回収していくか，というところが問題になるかもしれません。

「音声データ」が「不貞の証拠として使えるかどうか」についてですが，あなたが，証拠の違法性という点を気にされているのであれば，特段問題なく証拠として使用できます。
「証拠として使えるかどうか」が，不貞を立証するに足りるか，という趣旨でのご質問であるならば，「２人の不適切なやり取り」の内容によるというのが回答になります。あなたの主観ではなく，第三者が聞いても，これは肉体関係があるよね，といえるものであれば，不貞の証拠として有用でしょう。

「スタッフに宛てた親密なメール」というのも，内容によっては，不貞の証拠となる可能性はあります。

これ以上のことは，内容を確認しなければ申し上げられません。

１　示談交渉
　　相手の女性が夫との不貞を認めているのかどうか不明なのですが，仮に，不貞を認め，あなたに対して慰謝料の支払等に応じる意思があるのであれば，「裁判せずに示談に」という説得は有効でしょう。
　　これに対し，相手の女性が，そもそも不貞の事実を否認したり，「婚姻関係破たん後の不貞」などと主張したり，夫と別れないなどと述べている場合，そもそも示談交渉の余地はないでしょう。
２　夫への接触禁止
　あなたが慰謝料請求訴訟を提起して，判決が下された場合，判決主文に夫への接触禁止が記載されることはありません。

他方で，裁判上の和解をする際に，相手の女性が受け入れれば，和解条項の中に夫との接触禁止を加えることは可能です。但し，相手の女性が承諾しなければ和解の内容にはなりません。

そのため，和解の場において，接触禁止などを求めて相手の女性に納得してもらうしかないです。