夫が他の女性と電話して「一緒に住みたい」などと言っているのであれば，それを録音しておいた方がいいと思います。
今後，夫から正式に離婚請求がされた場合に証拠として使えます。

別居５か月目に離婚調停を申し立て，すでに不成立で終わったということでしたら，次は，離婚訴訟を提起することになります。
気になるのは，「不貞行為を認めるという書面」を送った，という点です。
これは，夫に対して，「元夫と不貞をした」という内容の書面を送ったという意味でしょうか。
それは事実なのか，夫に離婚を認めさせるために嘘なのか，どちらでしょうか。

貴方が離婚を希望する理由は，いずれも証拠があるようなものではないと思いますが，同居期間が５か月と短いこと，すでに別居して７か月が経過していることを考えれば，離婚訴訟において婚姻関係破綻が認められる可能性があるように思います。

そのため，元夫との間に不貞関係がないのであれば，離婚訴訟で争ってもよいと思います。

あなたと相手の男性との交際関係が終了したのか否か明確でないのですが，すでに別れたということを前提として，別れた原因が男性が離婚してなかったことにあるとすれば，慰謝料請求自体は可能です。

但し，相手の男性との間で，慰謝料の金額について合意が得られず，裁判などになった場合，あなたが希望するより低額での解決となる可能性はあります。

不法行為に基づく損害賠償請求権の消滅時効に関する規定である民法724条1項は，「被害者・・が損害及び加害者を知った時から3年間（権利を）行使しないとき」に権利が時効消滅するとしています。

次に，「加害者を知った時」というのは，被害者（あなた）が不法行為（不貞）の当時，加害者（不貞相手）の住所氏名を的確に知らず，損害賠償請求権を行使することが事実上不可能だった場合には，その状況がなくなり，被害者が加害者の住所氏名を確認したとき，とするのが最高裁の判例です。

そのため，あなたがいう「相手の詳しい情報」というのが，相手の住所氏名であり，これまでは事実上権利行使が不可能であったと言えるのであれば，消滅時効にはかかっていないということになります。

「相手の情報を知った日の証拠を提出」しなければならないか，ということですが，
⑴不貞があった当時，どのような情報を取得していたのか，何故，相手の住所氏名は不明だったのか
⑵何故最近になって相手の住所氏名が判明したのか
について合理的な説明が必要ではないかと思います。証拠があった方がもちろんよいです。
訴訟においては，証拠があれば，当然提出しなければなりません。

「時効の起算点を自分の意思で設定することが可能か」というご質問ですが，自分では設定できません。

「夫婦の貯金１４０万円」をあなたがもらい，車を夫に渡す，というのは，「財産分与」の問題です。
財産分与は，婚姻後，夫婦が経済的に協力して取得した財産を離婚に際して清算する制度なので，夫に渡す車の価値が１４０万円（時価。ローンがないこと前提）以上であれば，あなたが１４０万円の預金を取得しても何ら問題はありません。
他方，車にあまり価値がない場合は，下記の慰謝料の点を強く主張し，財産分与＋慰謝料として預金プラスαをもらうことになります。

慰謝料については，「決定的な証拠はない」とのことですが，相手の女性が誓約書をあなたに送付し，慰謝料２０万円を振込んだということですので，その誓約書に，あなたの夫とその女性が不貞行為を行ったことと認め，慰謝料を支払う旨の記載があれば，夫に対する「証拠」となります。
不貞行為は，配偶者に対する他方配偶者（本件では，夫）と不貞相手との共同不法行為なので，あなたは，相手の女性にも夫にも慰謝料を請求することは可能です。ただし，夫と相手女性の責任は，「連帯」しているので，女性から十分な額の慰謝料をとってしまった後に，夫から重ねて慰謝料をとることはできません。
もっとも，今回，あなたは，女性から２０万円しか得ていないということなので，夫に対し，さらに慰謝料請求をすることは可能です。
慰謝料の相場としては，２００万円くらいと思ってください。あなたは，女性から２０万円を得ているので，夫には１８０万円程度を請求することは可能ということです。

ご自身で解決するのが難しければ，弁護士に相談，依頼するのも一つの考えです。

奥様が離婚を同意しない理由は何でしょうか。条件次第では離婚に応じるのかどうかによっても交渉方法が異なるように思います。
ただ，なんにしても，別居を先行しないと奥様と離婚の話をするのは困難なように見受けられます。

気になる点ですが，別居後，お子さんは，どちらが監護されるのでしょうか。
「適切な養育費で合意し」との記載があることからすると，奥様がお子さんを監護して，あなただけが別居するということでしょうか。率直に申し上げて，奥様にお子さんたちを任せるのは危険なように思います。
仮に，あなたがお子さんを連れて別居に踏み切るということであれば，別居後に奥さんから子の引渡しを求められる可能性を考慮し，別居前に，あらかじめ然るべき準備をしておくべきだと思います。準備，というのは，奥様がお子さんに対して「心理的虐待」などをしている証拠の収集，ということです。
また，あなたがお子さんを連れて別居をするご意向があるのであれば，具体的に，どのようにお子さんたちを監護していくのか，予定を立てておくべきでしょう。

オンラインではなく，電話会議による調停への参加は可能です。調停申立ての際に電話による参加を希望する旨を，別途，上申書などに記載しておくと対応してくれます。