ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

原則は復氏といって、婚姻前の姓に戻ります。
新しく戸籍を作る前提なら、「婚氏続称」といって、婚姻時の姓を名乗る届を出せば戸籍上も婚姻時の姓とすることが可能です。婚氏続称の届出は離婚と同時でもできます。ただし、離婚から3か月以内に手続をする必要があります。

夫が素直に支払うことを認めてくれる場合はよいですが、相談者からの請求を受けて不貞を否定してきた場合は証拠の有無と内容がものをいうことになります。
証拠がないと記載されていますが、発覚、謝罪、話し合い、別居、それらの経緯の中で、メールやLINEなどでなにかかたちに残っているものはないのでしょうか。仮にあるとして証拠として十分かは実物をみてみないとわかりませんが、証拠として利用できる可能性はあると思います。夫が応じるなら不貞を認めたことを改めて書面等に残すことも考えられます。どうしても証拠が不足するなら、現在も関係が続いていないか、続いているなら新たな証拠が取れないかを模索していくしかないでしょう。

保証人にでもなっていない限り、当然に孫の養育費を支払う義務はありません。応じられないと言って良いです。
とはいえ、本来息子さんの問題である以上ご本人に動いてもらうほかありません。どのように養育費を決めたのかによりますが、息子さんが相手に事情を話して交渉するか、ご事情によっては家庭裁判所に養育費の減額調停を申し立てることも考えられます。いずれにせよ放っておけば未払額が増えていくだけなので息子さんを諭して何らか動くよう説得した方がよいです。動き方が分からなければ直接法律相談を受けるか、依頼して交渉なりしてもらうことも検討対象です。ただ、いずれにせよ現状どうすればよいか分からないということなので、やはり一度お近くの弁護士に相談されるのがよろしいかと思います。

新たな暴力があったなら警察に通報することが考えられます。そのほか、内閣府や役所、弁護士に事前にあわせて相談してみるのもよいでしょう。
相手の同意や相手との話し合いなど不要ですので、まずは別居含め身の安全を守ることにエネルギーをそそいでください。

同居中の生活費、というのが何を指すのか不明ですが、基本的に支払った生活費を後から清算することはできません。同意があれば別ですが。それよりむしろ貴女の方から慰謝料請求を検討すべき事案でしょう。

現時点で相手の言動や暴力の証拠があるなら、バックアップや写しをとるなどして保全してください。

やめさせることを強制することはできませんが、調停等で第三者もいる場所で理解してもらうための話し合いをすることはできるかもしれません。
それでもやめてくれそうにない、たえがたいということであれば別れることも選択肢ではあると思います。