難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

離婚の成否は、当時者同士の協議、離婚調停、離婚訴訟、と進んでいきます。
協議、調停は当時者の合意さえあれば離婚成立します。訴訟になると、原則、不貞をした側からの離婚請求を裁判所は認めません。ただ、細かい事情、不貞の内容、発覚後の経緯、配偶者の側の有責性の有無などによるところです(この場合でも、未成年子の有無や別居期間の長さなどによっては訴訟で離婚が認められることはあります。)。

配偶者が離婚に合意するならもちろん、離婚できますが、配偶者が何か条件(例：慰謝料)を求めてきた場合、それに応じられるかなどでも展開は変わってくるかと思います。

どのようなタイミング、かたちで行うかは別ですが、ともかく、離婚に対する配偶者の意向を何らかのかたちで確認することになります。

現状、生活費（婚姻費用）をもらっていますか。もし、もらっていない、または十分な金額をもらっていないということなら、まず家庭裁判所へ婚姻費用分担請求の調停を申し立てることを検討してください。どのくらいの金額になるかは、双方の収入、お子さんの年齢・人数によります。裁判所がホームページ上に算定表という金額を出すための表を公開していますので、一度ご自身でもご覧になってみてください。
なお、婚姻費用について、裁判所は基本的に申立月からの婚姻費用しか認めない（過去に遡っては認めない）運用をしているので、早く申立をした方がよく、婚姻費用の調停だけでも先に申し立てておくことも考えられます。
離婚後の養育費も上記同様に算定表というものがありますので、離婚後のことを考えておくのにも有益ですので、やはり算定表の参照は必須です。

次に、離婚をするには、これもやはり調停の申立がよいように思います。相談者と夫とで協議して離婚及び親権、養育費等について合意し離婚することも不可能ではありませんが、記載の状況からは二人で冷静に話し合うことは難しいと思いますので、第三者を通して協議ができる調停が適しています。
不貞の可能性については、判断が難しいところですが、白黒はっきりさせたい、慰謝料を請求したいと考えるなら、証拠の取得は必要になるので探偵への依頼などを検討することになります。

以上について、実際にはお一人で全て進めるのは中々難しいところがありますので、弁護士への依頼を検討してください。費用面や実際にどのように進めるかわからないところもあると思いますが、そうであれば尚更、依頼するかはさておき、まずは直接弁護士の相談を受け、今後の具体的な方針や動き方を決めておくことが肝要です。

＞1度、離婚調停の申し立てをしたのですが、離婚の方向でまとまったので取り下げました。
⇒過ぎたことではありますが、真実離婚の話がまとまっていたなら調停で離婚を成立させておくべきでした。

調停で、また離婚方向で話が進めばよいですが、夫が離婚を拒否したり、条件がまとまらない場合が問題です。すでに夫が相手に慰謝料請求しているということや、なんやか離婚に至らなかったことを踏まえると、夫が何の条件も出さずにすぐ離婚に応じるという可能性は低いのではと予想します。具体的には相談者に対する慰謝料等を検討しているのではと思います。
そうなった場合に夫の言い分が通るかは、夫の持っている証拠や相談者のいう「浮気」の内容によることになります。肉体関係はなくとも、親密さの度合い等によっては慰謝料が認められることがあります。また、万一不貞が立証されそうだとすると、相談者が有責配偶者となり夫が応じない限り離婚請求をしても棄却される可能性が出てきます。

離婚を考える以上、どこかの時点で別居することにはなるのでしょうが、早期離婚が成立するかは、夫の離婚に対する現在の考えや希望条件の有無・内容にかかってくるだろうということになります。調停を申し立てたということですので、そのあたりの夫の考えを調停で確認し、対応を考えていくことになるでしょう。

協議離婚でも、調停離婚でも、ともかく相手にい離婚に応じてもらうほかありません。
3度調停して駄目だったならなおさら離婚訴訟しかないとは思いますが、それでも訴訟以外でいうなら、相手の希望を聞いて相手に相当有利な離婚条件を示す、くらいしか思いつきません。
離婚したいと考える理由、3度の調停の経緯や内容、別居の有無・期間などによっては離婚訴訟で離婚が認められる場合もあります。訴訟を忌避する理由が何かおありなのでしょうか。

慰謝料→支払うべき根拠の有無如何。離婚せざるをえない原因を主に相談者がつくった（例：不貞、ＤＶなど）場合、最終的に支払うことになる可能性があります。
養育費→裁判所の算定表を参考に決めることになるでしょう。算定表はネットでも見られるので、一度ご覧になってみてください。算定表では夫・妻双方の収入と、子の年齢・人数で決まります。
あくまで推測ですが、弁護士がついていること等からすでに算定表を参考にした金額を提示されている可能性はありますが。

調停は双方の合意によってのみ成立します。したがって、納得できないならとにかく合意しなければ調停は不成立となり、少なくとも調停段階では支払うことにはなりません。ただし、上記のとおり、慰謝料を支払うべき状況の有無等によっては離婚調停後に相手が離婚訴訟を起こした場合、訴訟において支払うことになる可能性はあります。養育費は調停不成立後は審判という手続に移行し、裁判官が双方の収入等の主張をもとにやはり算定表を元に判断します。調停で支払を拒む、減額を求める等どういった対応をされるかは訴訟や審判になった場合も見込んで検討された方が良いです。

以上の点については、具体的な事実関係等によっても対応は変わろうかと思いますので、一度お近くの弁護士に直接面談のかたちで相談だけでもしておくことも検討してください。