「夫婦の貯金１４０万円」をあなたがもらい，車を夫に渡す，というのは，「財産分与」の問題です。
財産分与は，婚姻後，夫婦が経済的に協力して取得した財産を離婚に際して清算する制度なので，夫に渡す車の価値が１４０万円（時価。ローンがないこと前提）以上であれば，あなたが１４０万円の預金を取得しても何ら問題はありません。
他方，車にあまり価値がない場合は，下記の慰謝料の点を強く主張し，財産分与＋慰謝料として預金プラスαをもらうことになります。

慰謝料については，「決定的な証拠はない」とのことですが，相手の女性が誓約書をあなたに送付し，慰謝料２０万円を振込んだということですので，その誓約書に，あなたの夫とその女性が不貞行為を行ったことと認め，慰謝料を支払う旨の記載があれば，夫に対する「証拠」となります。
不貞行為は，配偶者に対する他方配偶者（本件では，夫）と不貞相手との共同不法行為なので，あなたは，相手の女性にも夫にも慰謝料を請求することは可能です。ただし，夫と相手女性の責任は，「連帯」しているので，女性から十分な額の慰謝料をとってしまった後に，夫から重ねて慰謝料をとることはできません。
もっとも，今回，あなたは，女性から２０万円しか得ていないということなので，夫に対し，さらに慰謝料請求をすることは可能です。
慰謝料の相場としては，２００万円くらいと思ってください。あなたは，女性から２０万円を得ているので，夫には１８０万円程度を請求することは可能ということです。

ご自身で解決するのが難しければ，弁護士に相談，依頼するのも一つの考えです。

おっしゃっているとおり，「借りたわけじゃないお金」は返す義務はありません。
お金を借りる際には，「お金を返す」という合意がなければならず，そのような合意がない場合，単に金銭を交付した＝贈与したと見るのが自然です。

他方で，「住宅購入資金の一部を出してもらった」ことについては，離婚における財産分与において検討する余地はあるかもしれません。

「年金分割するな」と言われても，離婚に際して分割を求めることは全く問題ありません。
財産分与の一種なので，義母に請求を禁じられるいわれはありません。

離婚できるのであれば，離婚を先行した方がいいです。
生活保護を受給するには，役所の生活支援課に，生活保護の「申請」に行くことになりますが，その際に，資産がないことを示す必要があるので，（離婚後であれば）あなた名義の預金通帳を全て持参すべきです。また，糖尿病で働くのが困難なことを示すために診断書を取得した方がいいと思います。

まず，奥様に渡している「カード」を使用できないように，金融機関又はカード会社に紛失の届出をすべきではないかと思います。
そのうえで，適正な金額を「婚姻費用」＝妻子の生活費として奥様に渡し，離婚を求めていく方がいいと思います。
婚姻費用算定にあたっては，あなたが妻子が居住する自宅のローンを支払っている場合は，その点も考慮に入れる必要があります。

とにかく，このままでは，「収入以上に」支出が多い状態が続き，いずれあなたが支払不能に陥ることになるでしょう。
早く手を打った方がよいと思います。

ご自宅については，離婚を求めつつ，退去を求めることになるでしょう。

婚姻期間はどれくらいでしたか？
一般的に，別居を３年以上継続すれば，婚姻関係破綻が認定されやすくなり，仮に，離婚裁判となっても，離婚請求が認められやすくなると言われております。

もっとも，婚姻期間が短い場合は，婚姻関係破綻の認定までに３年を要しないとも考えられております。

要は，あなたたちの婚姻期間が短い場合は，すでに１年別居しているとのことですので，埒が明かない夫との話を続けるより，家庭裁判所に離婚調停を申し立て，調停が不成立となるなら裁判にした方がいいのではないか，ということです。

夫がいう「清算」については，その必要があるのかもよく分かりませんし，清算をしても離婚に応じてくれる保証がないようなので，気にしなくていいと思います。

１　離婚の可否
　　現状，奥様は，別居しているにもかかわらず，「離婚しない」とおっしゃっているようですので，協議離婚（離婚届を出す方法による離婚）は難しそうですね。
　　そうかといって，調停離婚も裁判離婚も，奥様が離婚しないと言っていることに加え，おそらく，奥様はあなたの「不貞」を持ち出し（不貞の証拠がどの程度あるかにもよりますが），責め立てることが予想されますので，やはり少なくとも当分の間は，離婚は難しそうです。
　「８月初旬妻から離婚届けを出された」ことを立証できれば反論可能かと思いますが‥。
２　慰藉料
　　奥様の手持ち証拠次第では，離婚するしないに関わらず，慰謝料請求はされる可能性があります。
３　住宅ローン
　　債務者があなたであれば，離婚後，あなたがご自宅に居住するしないに関わらず，あなたが負担し続けます。
　　奥様が自宅に住み続け，あなたが家を出る場合は，住宅ローンにつき，話し合いが必要でしょうね。
４　親権
　　双方が親権を主張した場合，お子さんの年齢，これまでの監護実績，お子さんの意向等によって変わります。
５　養育費
　　双方の収入に照らし算定されるのが通常です。

奥様が離婚を同意しない理由は何でしょうか。条件次第では離婚に応じるのかどうかによっても交渉方法が異なるように思います。
ただ，なんにしても，別居を先行しないと奥様と離婚の話をするのは困難なように見受けられます。

気になる点ですが，別居後，お子さんは，どちらが監護されるのでしょうか。
「適切な養育費で合意し」との記載があることからすると，奥様がお子さんを監護して，あなただけが別居するということでしょうか。率直に申し上げて，奥様にお子さんたちを任せるのは危険なように思います。
仮に，あなたがお子さんを連れて別居に踏み切るということであれば，別居後に奥さんから子の引渡しを求められる可能性を考慮し，別居前に，あらかじめ然るべき準備をしておくべきだと思います。準備，というのは，奥様がお子さんに対して「心理的虐待」などをしている証拠の収集，ということです。
また，あなたがお子さんを連れて別居をするご意向があるのであれば，具体的に，どのようにお子さんたちを監護していくのか，予定を立てておくべきでしょう。