そもそも，いったん合意した養育費額は，その後に減額の合意等がない限り，当初の合意に基づく支払いの義務があると考えます。
現在の夫と娘さんが養子縁組をしたこと，元夫が再婚相手との間に子が出生したことは，元夫の支払うべき養育費額に影響を与える事実ではありますが，法的にそうであることと，当事者間で取り決めをした内容はイコールでなくてもよいわけで，当初の合意がそのまま効力を持ちます。

現在，「公正証書で取り交わした月々の養育費よりもかなり減額した額で支払ってもらって」いるとのことで，あなたと元夫との間で，月々の養育費については事実上又は黙示の減額の合意がされていると考えることはできますが（そこも争う余地はあるかもしれません），一時金については，特に減額または支払わない旨の合意はされていないのではないでしょうか。
そうであれば，少なくとも一時金については，支払いを求めてもよいと思います。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。

元妻が再婚し，再婚相手が息子さんと養子縁組をしたとしても，あなたの息子さんに対する扶養義務がなくなるわけではありません。あなたが実父であることに変わりはなく，引き続き息子さんに対し扶養義務を負うからです。

もっとも，現在，息子さんと一緒に生活している元妻夫婦があなたに先んじて息子さんに対して扶養義務を果たすべきであると考えられますので，養育費の「減額」を求めるのは当然に可能でしょう。「減額」が０円まで減らせるかどうかは，事情によるということになります。
そのため，元妻が養育費の支払い免除又は減額を受け入れないのであれば，養育費減額調停を申し立てるべきということになります。調停の中で，元妻夫婦の収入資料を提出させることになります。

あなたの現在の奥様の収入が考慮されるのか，については，あなたたち夫婦の間にも子がいて，２人で扶養していることから，息子さんに対する適切な養育費額を算定するにあたり，問題となるだろうと考えられます。

養育費を定める際に，現時点では出生していない夫と不貞相手との間の子のことは考慮しなくてよいと思います。
あなたと夫との間のお子さんにつき，現在の状況をもとに養育費を定めておいて，今後，夫が再婚なり認知なりして不貞相手との間の子に対して扶養義務を負うこととなったときに，夫の方から養育費減額を申し出ればよいのではないでしょうか。

公正証書で養育費について定める場合，支払いのお期についても定めます。公正証書作成時には，必ず，公証人による読み聞かせと，記載内容を確認する作業がありますので，その際に『養育費はちゃんと20歳までとなって』いるかの確認はできます。
また，公正証書の内容に不安を感じたときは，作成前か作成時に，公証人の先生に確認してみてください。

親権の争いとなった場合，同居中の主たる子の監護者が誰だったか，現在の監護状況はどうか，お子さんが10歳以上の場合お子さんの意思はどうか，といった観点から検討されます。

これまで，あなたが主にお子さんの面倒を見てきたというのであれば，別居に際し，あなたがお子さんを連れて行って，母子楽しく生活できるのであれば，親権を取れる可能性は高いのではないかと思います。

夫と別居したい，離婚したいというお気持ちは理解できるのですが，別居した後の生活，主に経済面についてどれくらい具体的に検討しているかが重要ではないかと思います。別居に踏み切るのであれば，その前に，具体的にどのような収入を得て，どの程度の支出が生じるのか，シミュレーションしておくべきだと思います。

お子さんの出産が，元夫との婚姻成立から２００日経過後であれば，嫡出推定（民法７７２条２項）が及ぶため，父子関係を否認するには，元夫が子の出生を知った時から「１年以内に」嫡出否認の訴えを提起しなければなりません（７７７条）。
しかし，すでにお子さんが３歳になったということなので，上記の場合であれば，原則として，元夫との間の嫡出子であることを否認できず，父子関係は切れないことになります。
例外的に，外形的客観的に見て元夫との関係が明らかに破たんしていた場合などは親子関係不存在確認の訴えによることもできる可能性がありますが，お話を聞く限り，これには該当しないように思います。

他方で，出産が元夫との婚姻成立から２００日以内であれば，嫡出推定が及ばない嫡出子になるので，親子関係不存在確認の訴えが可能です。
この方法により，元夫とお子さんとの父子関係を断つことができれば，実の父親に対し，認知を求め，認知後に養育費を請求することが可能です。

弁護士に依頼することが前提となりますが，弁護士であれば，⑴支払義務者（元配偶者）の住民票上の住所，⑵携帯電話番号が変更されていなければ，携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。
ただ，いずれの手段もある程度時間がかかるのと，⑴については，住民票上の住所と現住所とが一致していなければ意味がなく，⑵については，携帯電話業者の登録情報に現住所が記載されていなければ意味がないことになります。
その点を踏まえた上で，それでも調べたいというのであれば，弁護士に支払義務者に対する養育費の請求を依頼するのがよいと思います。