難しいというか、話を避け続けるんじゃないでしょうか？
とりあえず、家裁で、調停をし、彼が考えざるを得なくする方が、いずれ早いのでは。
あるいは、調停を申し立てたとたん、彼が、話をするようになるかもしれません。

＞暴力、暴言、モラハラ等を妻から受けていたこと
⇒この内容がどのようなものか、それらを裏付けるものが間接的なものでもよいのであるかどうか（診断書、写真、録音、日記、LINEやメールで誰かに相談したもの等など）。

飼い犬については、飼い始めたのが婚姻後なのか、前ならそれを示す証拠の有無。
ざっくりですが、上記のような事柄や証拠が問題になると予測します。

離婚の当事者は、あくまで兄本人とその妻であるため、兄が受け入れてしまうならどうしようもありません。そうした条件を受け入れるのが兄本人にとってうけいれがたいことなのか等、ご本人に考えてもらうしかありません。周囲の方が弁護士に相談してアドバイスをもらうのも選択肢ですが、やはり一度ご本人が直接弁護士への相談を行い、考え方や今後の方針を整理してもらうことに尽きるかと思います。

実際の写真を拝見しないと正確にはわかりませんが、どちらかの自宅に宿泊しているということであれば不貞が認定できる可能性はあると思います。

>他の人と関係を持った場合に婚姻状態にあるが相手を訴える事ができないようにできるのでしょうか？
書面を残しても本当の意味で「確実に」実現することは難しい（あてにすべきではない）とは考えますが、実際に問題となったときにそのような書面を残した以上、夫婦関係は破綻していたとして慰謝料請求を阻む根拠、証拠にはなりえるでしょう。
どのような内容にするかも難しいですが、配偶者が応じてくれるなら書面に残したうえ、相談者としては離婚訴訟を提起した方がよいです（上記書面は離婚訴訟での証拠にもなりえるでしょう。）。離婚訴訟で離婚が成立するか（裁判官が離婚の判決を書くか）は、別居の有無や具体的な婚姻生活に関する事実関係等にもよります。

婚姻費用について。当事者間で金額の合意がない場合は、裁判所の算定表を基に決めることが多いので、まずは算定表を参照してみてください。インターネットで裁判所、算定表、などと検索するとすぐに出てくるはずです（もしくは大型の書店で法律家向けの書籍を探す）。算定表では、双方の収入、お子さんの年齢、人数により大体の金額が出るようになっています。
算定表を確認し、２０万円という金額が過大なら、算定表上の合理的な金額だけ支払うなり、相手が調停を申し立てるのを待ってみるなり、することになるかと思います。
調停では基本的に上記算定表を基準に決めたいと主張すれば、双方合意があったという場合を除けば、まず算定表ベースで話しが進みます。その場合でも、事情によっては算定表以下の金額しか支払わないという主張も一応考えられます（従前の経緯からすでに十分な金額を支払い済みであるとか）。このあたりは細かい事情にもよるので、直接弁護士に相談してみた方が良いかなとは思います。
また、カードについては、もしまだならすぐに妻が使えないようにしてください。放置しておくと、黙示的に使用を同意していたなどといわれかねませんので。
さらに、婚姻費用は離婚するまでは発生するとされていますので、相談者にとって、婚姻関係を継続する意思がないなら、離婚調停を申し立てることが考えられます。妻が離婚に応じないなら、さらに離婚訴訟を行う必要がありますが、婚姻期間が短いので、相対的に短い別居期間で離婚が認められる可能性があります（調停や訴訟をしているうちに別居期間が数ヶ月、１年以上とたっていく。）。離婚の意思が明確なら、それを客観的に明らかにするためにも離婚調停を起こすことが考えられます。

以上、前記のとおり細かい事情によるところもあるので、より詳しく、正確には、一度お近くの弁護士に直接相談してみることも検討してみてください。

申立書の記載は、あくまで申立人の希望としてのものですので、相手方たる相談者に別の希望や意見があれば、相談者の主張として申し立てられた調停で主張すればよいです。調停は最終的には当事者双方の合意が形成できるのかに尽きますので、合意が成立する限り、申立書の記載にのみ拘束されるわけではありません。
相談者から何も言わなくても、調停員という人たちから、相談者は離婚に応じる気持ちはあるのかや、そうだとして、年金分割等の希望はあるのか、といったことは聞かれるはずです。事前に相談者の希望を書面で出してもよいですし、調停の期日で相談者からご自身の希望を述べても、どちらでも構いません。弁護士をつけておらず、調停の勝手がわからないなら、まずは期日に出向き、口頭で希望を述べるで構いません。調停員が申立人に相談者の希望を伝えてくれますので。

離婚後の親権者変更は家庭裁判所の判断が必要（民法819条6項）です。坂邸裁判所は、子の幸福という観点から検討するので、たとえ相談者がその同意書に署名したからといって、それだけで夫の希望で親権者変更が可能になるわけではありません。まして、夫の信仰や主義だけで決められるものでもありません。少なくとも日本においては信教の自由があり、単一の信仰を強制させられる社会ではないからです。
むしろ、親権者が自信の信仰を子に強制していたようなケースで、非親権者からの親権者変更を認めたような事案はあります。

上記のように同意書だけで親権者変更が安易に認められるようなことはないと思いますが、同意してしまえば、トラブルの原因になったり、認められるかは別として不利な材料として夫の主張の根拠に据えられる可能性はあるので、子にとって不利益と考えるなら同意すべきではないでしょう。
夫も子の父である以上、彼の宗教観や信仰に対する配慮も無視してよいとまでは考えませんが、突き詰めれば子がどのような環境や社会で今後生きていくかの問題であって、少なくとも裁判所も同様に考えるものと推察します。
したがって、ひとまずの方策としては、夫への配慮も考えるが、子の幸福の観点から夫の意向に全て同意するかは別問題として、それで夫が納得できないなら、離婚調停、離婚訴訟と、家庭裁判所で親権の所在を争っていくほかないように思います。