養育費をもらう前提として，あなたが離婚後，子を養育する立場＝親権者，監護権者となる必要があります。
夫が親権を争ってきた場合，絶対にあなたが親権者となれるかというと，そうではないだろうと思います。
親権者を裁判所が指定する場合，これまでの主たる監護者はどちらか，主たる監護者による監護は適切なものであったか，現在の監護状況はどのようなものか，子の年齢，監護補助者の存在といった点から判断することになります。
離婚に際して母親が親権者となるケースが多いのは，一般に，母親の方が子と接する時間が多く，かつ，実際に面倒を見ていることも多いからです。母親であれば当然親権者となるわけではありません。
もちろん，お子さんが小さい場合，事実上，母親であること自体が有利に働くこともあるのですが，あなたの相談内容からすると，実際の監護の内容，状況等は不明ですが，おそらく夫の方がお子さんと接する時間が長いであろうことから，あなたが母親である，というだけで親権者監護権者となれるかというと疑問に思いました。それなりに対策しないと，確実に親権者，監護権者になるとはいえないだろうということです。

次に，あなたが親権者，監護権者になったとして，夫から養育費をとれるか，という点ですが，夫が無職無収入（試算無し）の状態が続けば，事実上，養育費の回収はできないということになります。お金がないところからは取れないからです。

養育費を支払わせたい，ということが目的であるならば，まずは，夫に社会復帰をしてもらう必要があります。

以上のとおり，夫が争ってきた場合に，そもそもあなたが親権者，監護権者となれるのかという点で疑問があるので，仮に，あなたが離婚を決意するのであれば，お子さんの親権，監護権を獲得するために，十分な準備，証拠収集が必要かと思います。

解約より，電気会社，ガス会社に支払方法の変更の連絡をすべきではないでしょうか。今，自分の口座から引落しになっているのをやめたい，という連絡です。
夫にもその旨は通知した方が親切です。なお夫の承諾は不要です。

電気もガスも，自動引落しをやめたら，通常，コンビニなどで支払可能な請求書を自宅に送付してくるはずです。
夫は，それで支払えばよいわけです。請求書による支払いができない場合であっても，各業者には，夫に請求するよう求めるべきでしょう。

慰謝料の金額が１００万円が相当か否かについてですが，お話の内容からすると，「離婚せざるを得なくなったこと」に対する慰謝料，ということですよね。
一般的にそれが妥当かどうかより，あなたのお気持ちが１００万円で納得できるかどうかで考えた方がいいのではないでしょうか。

そもそも，あなたに離婚する意思がないなら離婚に応じる必要はないのではないでしょうか。
別居が続けば，いずれは離婚せざるを得なくなるのはたしかですが，今すぐ応じる必要はないでしょう。
犬，猫の飼育代が不安であれば，今すぐ離婚するよりも，夫に生活費(婚姻費用)を求め，離婚しなければならなくなるまでの間，しっかりお金を支払ってもらったらいかがでしょうか。もちろん，離婚するまでの間になります。
他方で，離婚した後犬猫の「養育費」をもらうことはできません。人間の子ではないからです。
養育費ではなく，合意で，今後かかるであろう飼育代の半分を支払ってもらうということは考えられますが，夫が応じなければ，そのような合意はできません。人間の子と違って，養育費の支払を強制することもできません。

ところで，なぜ，夫が請求に離婚を求めてくるのか，思い当たることはありますか？
例えば，夫に疑わしい女性関係はありますか(夫に女性関係について直接尋ねるべきではないので，ご注意ください)。
あなたの話をうかがう限りだと，何故，夫が突然離婚を求めるようになったのか，有無を言わさず実家に帰ったのかまるでわからないため，女性関係かなと思いました。

あなたが夫を「怒らせちゃう」ことがあるにしても，暴力はよくないです。
暴力を受けたら，必ず，写真を撮り，日記をつけておいてください。できれば，夫が暴れたりあなたに暴言を吐いているところを録音してください。そういうのが積み重ねれば，あなたが離婚したいと思ったときに，慰謝料請求することができます。

財産分与は，個別の財産を一つずつ分けていくのではなく，全体を計算し，トータルがプラスであれば等分する，という方法を採ります。
具体的には，あなた名義のプラスの財産（不動産，預金など）と奥様名義のプラスの財産を合算し，そこからあなた名義のマイナスの財産（住宅ローンなどの債務）と奥様名義のマイナスの財産を引いて，プラスが残るようなら，プラスの分を２分の１で分けるように財産が多い方から預金などで調整する，トータルがマイナスであれば，財産分与はしない，ということになります。
　
トータルがプラスの場合を前提に話をすると，自宅不動産のうち，奥様の特有財産（共有財産に該当しない。奥様のお母様からの贈与）部分をどのように評価するのかが問題となるでしょう。
考え方ですが，不動産取得費用のうち，奥様の特有財産部分の割合を算出したうえで，現在の自宅不動産の価値（又は売却額）から残ローン額を控除した残金に，上記特有財産割合を乗じたものが奥様の特有財産となります。
例えば，４０００万円で自宅を取得し，そのうち１０００万円を奥様のお母様の贈与金で賄った場合，特有財産割合は２５％となります。現在の自宅の査定額または売却額が３０００万円で，住宅ローンが１０００万円残っているのであれば，自宅の価値は２０００万円となりますので，奥様の特有財産部分は５００万円分と算出できます。

より具体的な相談をされたい場合はご連絡ください。

夫が他の女性と電話して「一緒に住みたい」などと言っているのであれば，それを録音しておいた方がいいと思います。
今後，夫から正式に離婚請求がされた場合に証拠として使えます。

・今後の相手とのやり取りについて
　養育費増額や面会交流について改めて話し合いをしたい場合は，（あなたご自身又は代理人に依頼して）直接のやり取りをするか，新しく調停を申し立てるかのいずれかによると思われます。
・今まで依頼していた弁護士さんについて
　依頼した当初に，委任契約書を取り交わしていると思いますので，その契約内容をご確認ください。
　委任の範囲の解釈の問題だと思います。
　契約の範囲が，例えば「離婚訴訟の第1審終了まで」，とされているのであれば，第1審終了により当該委任契約における受任弁護士の役割は終了したと考えられます。そのため，続けて養育費や面会交流について相手方と協議することをお願いしたい，ということであれば，その弁護士さんのおっしゃるとおり，別の委任契約を締結する必要があります。