養育費は，「未成熟の子」に対する扶養義務が根拠になります。
未成熟，とは，平たく言えば，学生の間と言えるかもしれません。要は，経済的に独立していない，できない状態ということです。
そのため，娘さんが大学を卒業した以上は，未成熟とはいえないため，養育費の支払義務はない，と言えます。

なお，「障害等で就職が困難」等の理由で要扶養状態の子がいる場合は，養育費ではなく，扶養一般の問題になると思います。

養育費を定める際に，現時点では出生していない夫と不貞相手との間の子のことは考慮しなくてよいと思います。
あなたと夫との間のお子さんにつき，現在の状況をもとに養育費を定めておいて，今後，夫が再婚なり認知なりして不貞相手との間の子に対して扶養義務を負うこととなったときに，夫の方から養育費減額を申し出ればよいのではないでしょうか。

公正証書で養育費について定める場合，支払いのお期についても定めます。公正証書作成時には，必ず，公証人による読み聞かせと，記載内容を確認する作業がありますので，その際に『養育費はちゃんと20歳までとなって』いるかの確認はできます。
また，公正証書の内容に不安を感じたときは，作成前か作成時に，公証人の先生に確認してみてください。

面会交流なしの取り決めをした理由や事情によりますが，基本的には，面会交流ありに変更することは可能だと思います。

気になるのは，お子さんが皆幼いことです。
あなたがお子さんたちと離れてどれくらい経つのか分かりませんが，あまり時間が経過していると，お子さんがあなたに会うことを拒絶する可能性もあるように思いました。
仮に，家庭裁判所に面会交流調停を申し立てたとして，裁判所が面会交流を実施すべきだと考えたとしても，元夫は「子供が嫌がっている」などと反論してくる可能性があり，実際に，お子さんがあなたのことを忘れたり，気持ちが離れていた場合に，お父さんの顔色や気持ちに配慮して「会いたくない」と言い出す可能性があります。
つまり，一番の懸念は，お子さんの気持ちの点です。
この点は，あくまで可能性の話なので，心に留めておいて，あなたがお子さんと会いたいと思うのなら，夫に求めるよりも，速やかに面会交流調停を申し立てるべきだと思います。

あなた自身が元夫の住所を調べて，請求書を出すということもできなくはないでしょうが，現実的には，弁護士に，元夫に対して未払養育費の支払いを請求することを依頼して，現在の元夫の住所を調べてもらって，過去１０年分遡って請求する，というのがよいでしょう。

もっとも，お子さん２人に対し月額１万円の養育費すら支払わない男が，たとえ弁護士から請求があったとしても素直に支払うとは思えません。裁判をしても，回収できるかどうかは不明です。
勤務先を調べられたとしても，元夫が勤務先をやめてしまえば給与差押えも空振りになります。

要は，弁護士に依頼して請求したとしても費用倒れになる可能性があるということです。
それでもどうしても支払わせたいというのであれば，弁護士に依頼することをお勧めします。

１　過去の養育費について
　　過去の養育費は支払うべき義務はないです。養育費は，子の「現在の」生活を定期的に充足させるための費用であり，過去分については充填のしようがないからです。請求時又は養育費調停申立ての月からの養育費の支払いで構いません。
２　面会交流ができなかったことの慰謝料請求について
　　そもそも，面会交流は，子の権利であり，本来は，非監護親（子と生活していない親）の権利ではありません。非監護親は，子の面会交流権の反射的効果として，一定の限度で面会交流権を有するのだと考えられます。
　　また，現時点で認知をしていない以上，生物学的にはともかく，法律上は父ではないので，面会交流というのは想定できません。勿論，あなたとすれば，認知すると申し出ていたにもかかわらず，相手が無視していたため認知ができず，したがって，面会交流ができなかった，ということをおっしゃりたいのだと思います。ただ，やはり現実に認知をしていないことからすれば，面会交流権を主張することには違和感があるように思われます。
　したがって，面会交流ができなかったことについて慰謝料を求めることは現実的ではないと思います。

　むしろ，認知をして，今後の養育費の支払いについて取り決め，他方で，今後の面会交流についても取り決める，という方が実態に即した解決ではないかと思います。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

そもそも，いったん合意した養育費額は，その後に減額の合意等がない限り，当初の合意に基づく支払いの義務があると考えます。
現在の夫と娘さんが養子縁組をしたこと，元夫が再婚相手との間に子が出生したことは，元夫の支払うべき養育費額に影響を与える事実ではありますが，法的にそうであることと，当事者間で取り決めをした内容はイコールでなくてもよいわけで，当初の合意がそのまま効力を持ちます。

現在，「公正証書で取り交わした月々の養育費よりもかなり減額した額で支払ってもらって」いるとのことで，あなたと元夫との間で，月々の養育費については事実上又は黙示の減額の合意がされていると考えることはできますが（そこも争う余地はあるかもしれません），一時金については，特に減額または支払わない旨の合意はされていないのではないでしょうか。
そうであれば，少なくとも一時金については，支払いを求めてもよいと思います。