元夫の「いいわけ」は，自らの債務を承認するような内容だったのでしょうか。
解決金105万円が全くの未払いなようなので，消滅時効の点から気になりました。

さて，難しい状況ではありますが，「預金があるわけがない」のであれば，元夫の預金を調べても空振りに終わる可能性が高いように思いますので，現在の勤務先が判明しているのであれば，とりあえず養育費について給与差押えをした方がよいのではないでしょうか。
給与差押えをすれば「すぐに職場を変える」のではないかとのことですが，元夫は再婚して妻の実家に居住しているということですから，そう簡単に転職できないようにも思います（養育費未払のことを妻に伝えていないなら，転職の理由も説明できないでしょう）。

内容証明郵便を送るのも一つのやり方であると思いますが，再婚した妻やその親が知った場合，どのような行動に出るのか分かりませんし，無視されることもあるでしょう。
そのため，給与差押えが一番効果的なように思いました。
差押後，転職されてしまったら，再婚した妻の家に内容証明郵便等を送るなど，他の方法を検討したらいかがですか。

あなた自身が元夫の住所を調べて，請求書を出すということもできなくはないでしょうが，現実的には，弁護士に，元夫に対して未払養育費の支払いを請求することを依頼して，現在の元夫の住所を調べてもらって，過去１０年分遡って請求する，というのがよいでしょう。

もっとも，お子さん２人に対し月額１万円の養育費すら支払わない男が，たとえ弁護士から請求があったとしても素直に支払うとは思えません。裁判をしても，回収できるかどうかは不明です。
勤務先を調べられたとしても，元夫が勤務先をやめてしまえば給与差押えも空振りになります。

要は，弁護士に依頼して請求したとしても費用倒れになる可能性があるということです。
それでもどうしても支払わせたいというのであれば，弁護士に依頼することをお勧めします。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

弁護士に依頼することが前提となりますが，弁護士であれば，⑴支払義務者（元配偶者）の住民票上の住所，⑵携帯電話番号が変更されていなければ，携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。
ただ，いずれの手段もある程度時間がかかるのと，⑴については，住民票上の住所と現住所とが一致していなければ意味がなく，⑵については，携帯電話業者の登録情報に現住所が記載されていなければ意味がないことになります。
その点を踏まえた上で，それでも調べたいというのであれば，弁護士に支払義務者に対する養育費の請求を依頼するのがよいと思います。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。

お子さんの出産が，元夫との婚姻成立から２００日経過後であれば，嫡出推定（民法７７２条２項）が及ぶため，父子関係を否認するには，元夫が子の出生を知った時から「１年以内に」嫡出否認の訴えを提起しなければなりません（７７７条）。
しかし，すでにお子さんが３歳になったということなので，上記の場合であれば，原則として，元夫との間の嫡出子であることを否認できず，父子関係は切れないことになります。
例外的に，外形的客観的に見て元夫との関係が明らかに破たんしていた場合などは親子関係不存在確認の訴えによることもできる可能性がありますが，お話を聞く限り，これには該当しないように思います。

他方で，出産が元夫との婚姻成立から２００日以内であれば，嫡出推定が及ばない嫡出子になるので，親子関係不存在確認の訴えが可能です。
この方法により，元夫とお子さんとの父子関係を断つことができれば，実の父親に対し，認知を求め，認知後に養育費を請求することが可能です。

お子さんが３人いらっしゃるとのことですから，なるべく養育費の支払が確保できるよう公正証書を作成するか，調停を申し立て，調停調書に養育費のことを記載してもらうのがよろしいかと思います。
家の名義変更についても書面化しておく方が安心でしょう。

夫の転居先は，夫が住民票を異動していれば，離婚後であっても養育費の請求などを理由に調べることは可能です。転職先については，養育費の未払いがあれば，調査することはできますが，前提として調停調書などの書面により養育費が認められている必要があります。