離婚協議書の内容自体について，元配偶者との間で合意していたのであれば，離婚協議書にサインがないことを理由に合意が無効になるわけではありません。
但し，元配偶者が，「合意した覚えはない。」と言い出した場合，離婚協議書にサインがないので，合意の存在を証明できない，合意したという証拠がない，ということです。

ではどうすればよいかというと，家庭裁判所に，「離婚後の紛争調整調停」を申し立て，元配偶者と合意した内容について，もう一度元配偶者と話し合い，家庭裁判所に書面を作成してもらう，というのがよいと思います。

もちろん，元配偶者が応じないということは考えられますが，あなたが直接元配偶者に対して，離婚協議書へのサインを求めるよりは，家庭裁判所を通じて話し合いを求めた方がうまくいく可能性が高まるのではないでしょうか。

おっしゃっているとおり，「借りたわけじゃないお金」は返す義務はありません。
お金を借りる際には，「お金を返す」という合意がなければならず，そのような合意がない場合，単に金銭を交付した＝贈与したと見るのが自然です。

他方で，「住宅購入資金の一部を出してもらった」ことについては，離婚における財産分与において検討する余地はあるかもしれません。

「年金分割するな」と言われても，離婚に際して分割を求めることは全く問題ありません。
財産分与の一種なので，義母に請求を禁じられるいわれはありません。

１　離婚の可否
　　現状，奥様は，別居しているにもかかわらず，「離婚しない」とおっしゃっているようですので，協議離婚（離婚届を出す方法による離婚）は難しそうですね。
　　そうかといって，調停離婚も裁判離婚も，奥様が離婚しないと言っていることに加え，おそらく，奥様はあなたの「不貞」を持ち出し（不貞の証拠がどの程度あるかにもよりますが），責め立てることが予想されますので，やはり少なくとも当分の間は，離婚は難しそうです。
　「８月初旬妻から離婚届けを出された」ことを立証できれば反論可能かと思いますが‥。
２　慰藉料
　　奥様の手持ち証拠次第では，離婚するしないに関わらず，慰謝料請求はされる可能性があります。
３　住宅ローン
　　債務者があなたであれば，離婚後，あなたがご自宅に居住するしないに関わらず，あなたが負担し続けます。
　　奥様が自宅に住み続け，あなたが家を出る場合は，住宅ローンにつき，話し合いが必要でしょうね。
４　親権
　　双方が親権を主張した場合，お子さんの年齢，これまでの監護実績，お子さんの意向等によって変わります。
５　養育費
　　双方の収入に照らし算定されるのが通常です。

離婚できるのであれば，離婚を先行した方がいいです。
生活保護を受給するには，役所の生活支援課に，生活保護の「申請」に行くことになりますが，その際に，資産がないことを示す必要があるので，（離婚後であれば）あなた名義の預金通帳を全て持参すべきです。また，糖尿病で働くのが困難なことを示すために診断書を取得した方がいいと思います。

奥様の退職理由が不明ですが，さしたる理由もなく退職したのだとしたら，潜在的に前職と同水準の収入を稼げる能力があると主張しても不合理ではないと思います。
もっとも，奥様の年齢その他の条件によっては，そもそも同じ業界への再就職が困難であり，現実的に前職と同水準の収入を得られない，ということもあり得るとは思います。

仮に，上記の主張が受け入れられない（裁判所が相当と判断しなかった）場合は，賃金センサス相当の収入を主張して構わないと思います。但し，これも，奥様の退職理由，現在稼働しない理由に関わってくるでしょう。

何にしても，奥様が２年前までフルタイムで勤務していたこと，勤続２０年程度というのは，かなり有利な事情ですので，パートタイマーと同水準の収入しか得られない（稼働能力がない）などということを認める必要はないでしょう。

審判移行の可能性も考慮して，奥様の潜在的稼働能力の主張は客観的証拠を付して行うべきでしょう。

１　婚姻費用について
　　婚姻費用の請求権は，請求したときから発生すると考えられるので，過去の分は請求しても支払われないのが原則です。
　　そのため，今からでも婚姻費用を請求した方が良いと思います。但し，あなたより夫の方が収入が高いことが前提となります。
　　離婚または別居解消までは，婚姻費用が発生します。
　　請求したことを証明するため，内容証明郵便又は調停申立てが望ましいです。
２　慰謝料又は見返りについて
　　別居に至った原因によっては，慰謝料の請求が可能かもしれません。しかし，詳しい事情は存じませんが，なんとなく難しいように思われます。
　　「見返り」といいますか，財産分与であれば，考えられるのではないでしょうか。

婚姻期間はどれくらいでしたか？
一般的に，別居を３年以上継続すれば，婚姻関係破綻が認定されやすくなり，仮に，離婚裁判となっても，離婚請求が認められやすくなると言われております。

もっとも，婚姻期間が短い場合は，婚姻関係破綻の認定までに３年を要しないとも考えられております。

要は，あなたたちの婚姻期間が短い場合は，すでに１年別居しているとのことですので，埒が明かない夫との話を続けるより，家庭裁判所に離婚調停を申し立て，調停が不成立となるなら裁判にした方がいいのではないか，ということです。

夫がいう「清算」については，その必要があるのかもよく分かりませんし，清算をしても離婚に応じてくれる保証がないようなので，気にしなくていいと思います。