父か母かでは親権は決まるわけではありませんが、これまでのお子さんの監護を担ってきたのが相談者なのであれば、その点では相談者が有利です。
より盤石にするには、別居や離婚後のお子さんの監護をどのようにするのかをできうる限り具体的に計画、実行していくことです。離婚するとなれば、当然別居することになりますから、別居後の住居や仕事、監護補助者の有無等について検討しておく必要があります。

不貞とは要は肉体関係をもつこと、広くとっても肉体関係に類するような行為を指しますから、単に飲食のパーティをする限りでそれを不貞ということはありません。ただ、あまりに親密な様子が見て取れたり宿泊が伴うなどすると、外部からみて不貞を疑われるということはありえます。

親権は離婚時に決めるものなので、離婚調停や離婚訴訟の中できめていくことになります。ただし、相手方が監護する状況が継続しその監護に大きな問題がないとなれば親権判断の場面でそのことが相手に有利に働きえますので、親権を希望するなら離婚前に監護者指定及び子の引渡しの審判（あわせて審判前の保全処分の申立）を行い、離婚前に子の引渡しを実現しておくべきです。監護者や親権を得られるかは、お子さんの年齢、別居前の監護を主として行っていたのは誰か、具体的な生活状況の内容、別居後及び今後の監護の予定（監護補助者の有無等）によります。

まずは、具体的に妻がどのような生活をしているかを客観的な記録に残すことかとが重要です。
その上で、主にお子さんたちの世話や関係機関との連絡などを相談者が行っているとすれば、相談者が監護者や親権者と指定される可能性は高まるでしょう。
さらに、妻と協議の見込みがない・協議がうまくいかない、ということであれば、お子さんたちを連れて別居するなど妻から離れる選択肢もとらざるを得ないかもしれません。
そのあたり、具体的にどう進めていくのがよいかについては、お近くの弁護士に直接相談されるのがよいかと思います。

親権が父での離婚が不本意なら、この回答を見てすぐに役所に離婚届の不受理届を出してください(具体的なやり方が不明なら最寄りの役所で良いので電話して今すぐに届出の出し方を聞いてください。)。夫が離婚届を未提出なら、不受理届を出すことで夫を親権者とする離婚の成立をひとまず防止できますので。
万一、提出済みであった場合、後からの親権者変更は基本的に難しいと思ってください。合意により親権を父としている以上、後からの変更は、父に虐待とか、よほどの不適格な事情がないと原則は親権者変更は通りません。
繰り返しになりますが、とにかく、まずは離婚届が出されているかの勝負になりますので、この回答を見たら、上記のとおりすぐに役所に電話した上で不受理届提出の動きをしてください。

親権は成年に達するまでの子に対する概念ですので、お子様二人はすでに親権に服することなく、自身で居所等の判断ができることになります。相談者と一緒に暮らすのかどうかは、お子様方それぞの判断で行う、というのが理屈になります。
婚姻時、相談者が姓を変えている場合、現在の戸籍の筆頭者は夫で、離婚する場合、相談者は新たな戸籍を作るか、元の戸籍に戻ることになります。お子様二人は、そのまま夫筆頭者の戸籍に残ることになります。
子が相談者と同じ戸籍に記載されるためには、子が家庭裁判所に氏の変更許可の審判を申し立て、相談者と同じ氏（姓）になる必要があります。成年しているので、これはお子様方ご自身の判断で、お子様方それぞれが自分で申し立て手続きも行うことになります。
なお、同じ戸籍にのるかということは親子関係そのものとは一切関係がありませんので、別の姓のまま相談者と同居しようが、それはお子様方の自由となります。日本社会では、未だに戸籍の記載や氏（姓）に特別な価値を見いだす人が多くあるように思いますが、戸籍は実際には行政が管理する住民の帳簿のようなもので、戦前と異なり、「同じ」戸籍ということに法的な意味や価値はなにもありません。
「跡取り」のような仕組みも制度も存在していません。
まとめると、夫の希望はともかく、相談者の経済力といった事情とは無関係に、成年している以上お子様自身が、居所も、戸籍も選択可能ですし、お子様本人が決めるべき、ということです（未成年者の場合は親権者が子本人に代わり決められる）。
ちなみに、戸籍が異なろうと親子関係があることに変わりはありませんので、夫が子に何かを継がせたいなら、それもまた戸籍とは無関係にやればよいだけということになります。

現行法上、離婚後の親権者は必ず父母のどちらかになります。あなたが親権者となれば、むしろ当然にあなたと息子さんが一緒に暮らすことになります。
離婚時に夫が同意すればあなたが親権者になれますし、もし同意なき場合は調停や訴訟等で決めていくことになりますが、高校生ということで息子さん本人の意思は必ず確認されますし、相当程度考慮されます。