ごく一般論として、不貞と親権者の判断とは別といわれます（不貞にかまけて子どもを配偶者に任せていたとか、育児放棄していたといったようなケースは別）。
相談者の場合は、これまでの育児を主として担ってきたということのようですから、むしろ、離婚後の住居や生活設計、子育ての環境の構築や今後の計画といったところを隙無くしっかりと準備できれば親権を取れると思います。
しかし、そういった見立てや計画を立てずに突発的に離婚や別居という動きをしてしまうと揚げ足を取られる可能性があるので慎重に動く必要はあります。

現行法上、離婚後の親権者は必ず父母のどちらかになります。あなたが親権者となれば、むしろ当然にあなたと息子さんが一緒に暮らすことになります。
離婚時に夫が同意すればあなたが親権者になれますし、もし同意なき場合は調停や訴訟等で決めていくことになりますが、高校生ということで息子さん本人の意思は必ず確認されますし、相当程度考慮されます。

本当に弁護士が作成に関与したのでしょうか、ちょっと疑わしいですね。
署名してしまった弱みはあるかもしれませんが、面会交流は夫のためではなく子のために行うものです。相手の一方的な都合に合わせる必要はありません。元々無理な要求の書面なら無効にできる可能性もあります。
いずれにせよ、その書面だけを根拠に夫の要望に応じるべきではありません。当事者同士での協議が難しそうなら家庭裁判所面会交流調停を行胃、その中であるべき面会交流の実施方法について協議するのも一考です。
良くも悪くも裁判所は一方の都合だけに従った一方的な面会交流の実施には共感しないでしょう。

親権は成年に達するまでの子に対する概念ですので、お子様二人はすでに親権に服することなく、自身で居所等の判断ができることになります。相談者と一緒に暮らすのかどうかは、お子様方それぞの判断で行う、というのが理屈になります。
婚姻時、相談者が姓を変えている場合、現在の戸籍の筆頭者は夫で、離婚する場合、相談者は新たな戸籍を作るか、元の戸籍に戻ることになります。お子様二人は、そのまま夫筆頭者の戸籍に残ることになります。
子が相談者と同じ戸籍に記載されるためには、子が家庭裁判所に氏の変更許可の審判を申し立て、相談者と同じ氏（姓）になる必要があります。成年しているので、これはお子様方ご自身の判断で、お子様方それぞれが自分で申し立て手続きも行うことになります。
なお、同じ戸籍にのるかということは親子関係そのものとは一切関係がありませんので、別の姓のまま相談者と同居しようが、それはお子様方の自由となります。日本社会では、未だに戸籍の記載や氏（姓）に特別な価値を見いだす人が多くあるように思いますが、戸籍は実際には行政が管理する住民の帳簿のようなもので、戦前と異なり、「同じ」戸籍ということに法的な意味や価値はなにもありません。
「跡取り」のような仕組みも制度も存在していません。
まとめると、夫の希望はともかく、相談者の経済力といった事情とは無関係に、成年している以上お子様自身が、居所も、戸籍も選択可能ですし、お子様本人が決めるべき、ということです（未成年者の場合は親権者が子本人に代わり決められる）。
ちなみに、戸籍が異なろうと親子関係があることに変わりはありませんので、夫が子に何かを継がせたいなら、それもまた戸籍とは無関係にやればよいだけということになります。

モラハラがどのような内容なのか次第でもありますので、イコールあなたに有利になるかは何ともいえません。もちろん、夫が欲しいと言ったからといって、それだけで夫の親権が認められるわけでもありません。いずれにせよ、家庭内のことについて、後から証拠を出すことは難しいので証拠という意味だけでなく備忘としてもメモや日記は残しておいた方がよろしいでしょう。

親権や監護権は、それまでどちらが中心に子育てをしてきたのか、その内容、別居後や離婚後にどうやって監護していくのか、手伝ってくれる人の有無（監護補助者）等など、あらゆる事情から総合考慮されます。
出産後、あなたが中心に子育てをしてきた（子どもと多く接してきた）のであれば、あなたが有利と考えるのが一般的でしょう。

夫婦の協議で親権を分けることは可能といえば可能ですが、相談者が望まないなら裁判所の手続で決めることになり、その場合は通常親権を分けることはしません。
お子さんのうち１５歳以上の子がいて、その子が夫と暮らすことを強く希望した場合や、元々別居しており夫婦それぞれが子を監護していた場合等には、分離されることがありえます。
協議離婚で夫が５人とも相談者が親権者となることに同意してくれれば、もちろん可能です。争いがある場合、やはり裁判所の手続内で決めていくことになります。その場合、どちらが親権者となるかは、種々の事情の総合考慮となります。例をあげると、従前主として監護していたのはどちらか、その監護内容はどのようなものだったか、別居・離婚後の監護はどのようなものになるのか・その計画や予定、年齢によっては子自身の希望、等です。経済力はあまり関係ありません。他方からの養育費や公的扶助で賄えるからです。

＞子どもを私に預けてアパートで寝泊まりしています
これは現在の話しではないのですか。ご相談者のもとにお子さんがいるなら引渡請求は不要です。早急に十分な監護態勢を準備し、妻からの監護者指定及び子の引渡し請求に備えるべきです。
もし今は妻の元にいるということなら、逆に相談者の側から監護者指定及び子の引渡しの手続を取る必要があるかと思います。その場合、妻の従前の監護がどのようなものだったのか、時系列でまとめて直接弁護士に相談されることも検討されるべきかと思います。