離婚に不利な影響は直ちにはないと思います。ただし、配偶者との感情的対立を生じさせる可能性はあるでしょう。
また、次のような問題もあります。
夫婦共有財産であれば離婚時に原則2分の1ずつ分けるので、その範囲であれば問題ないようにも思われます。持ち出された側が持ち出した側に対し損害賠償請求した裁判例で、予想される財産分与の対象・範囲を著しく逸脱するとか、一方配偶者を害するような不当な目的で行ったような場合を除いては不法行為とはならないとしたものがあります。これを参考にするなら、財産分与として適切な範囲なら問題にならないように読めますが、事案によっては、そもそも共有財産か特有財産か（財産分与の対象かという問題）で争いとなることもあります。
また、婚姻費用の請求をする場合に預金を手にしていることが金額の算定にあたり考慮されてしまうこともありえます。
最低限、使途が説明できるように明細や領収証などは保管しておくべきです。
また、上記のような考慮はした方が良いので、お近くの弁護士に直接相談（特に財産分与の対象となるのかについて）しておいた方が良いでしょう。

一般論として、「精神障害者だから」親権者になれない、という画一的なルールがあるわけではありません。
お子さんの監護・養育が適切に行えるのかどうか、これまではどちらが主としてお子さんを見てきたのか、今後の子育ての計画、住まいや仕事、就学先はどうするのか、子育てを手伝ってくれる人がいるのか（監護補助者）、精神障害ということが子育てにどういった影響があるのか、夫側の事情はどうか、そういったことの総合的な考慮で判断されます。
相談者の具体的な状況がわからないので、迂闊なことはいえませんが、精神障害があるゆえに子育てに支障がもしあるなら、その点をどうケアするか（監護補助者の有無、精神科の受診状況等など）により結論の見込みは変わってくることになります。

＞こどもの親権は、どうなりますか？
→現状からすれば裁判所で争っても妻が親権者となる可能性が高いです。

＞家のローンは、どうしたらよいでしょうか？
→ローンは銀行との契約ですから、たとえ離婚することになっても支払い義務は当然そのまま残ります。

建築中ということで工程がどの程度進んでいるかにもよりますが、場合によってはキャンセル料を支払ってでも工事を中止した方が良いパターンもありえます。すでに完成間近とか完成した後なら、妻と話し合って建物をどうするかを決める必要があります。
前記のとおりローンはローンとして残るので、もし良い値で売却できるなら売却も検討します。敷地の名義人が妻の親族の場合で妻が居住することを希望するなら、家賃をもらうとか、養育費から一定限度減額するといったことは考えられます。

いずれにしましても、詳細によりけりですので、この件は一度直接弁護士に相談してみた方がよいように思います。

離婚の流れは、協議、離婚調停、離婚訴訟と進んでいきます。
協議及び離婚調停では、双方離婚に「合意」できるなら理由の如何に関わらず離婚は成立します。
離婚調停でも合意できなかった場合、離婚を成立させるには離婚訴訟によることになります。離婚訴訟で離婚の判決が出れば離婚となりますが、そのためには法定の離婚事由（民法770条1項所定）が必要です。性格があわないという点は同項5号の婚姻を継続し難い重大な事由に該当するかの問題となります。一般論としては単に性格が合わないというだけでは同号には該当しないと判断されるでしょう。性格が合わないことによって、具体的に夫婦関係にどのような支障が生じているのかが重要になります。これについても、結局は判断にあたって別居などの事情がないと実際は難しいでしょう。
また、現時点では離婚訴訟で離婚成立させるだけの材料がないという場合は、一定期間別居することで夫婦関係が破綻したとして離婚が認められる場合があります。同居したままだと客観的に破綻しているかが分かりづらいので同居したまま離婚が認められることは稀です（家庭内別居の場合二世帯住宅のように物理的に居住空間が区切られ完全に別々の生活をしていたような状況。それでも結局は一定期間の状況の継続は必要）。

本件のような事案は個別性の非常に高いものであり、結論としては急いでお近くの弁護士に直接相談することをおすすめいたします。そのとを前提にわかる範囲で回答します。

おっしゃるとおり、相手が応じない以上、監護実績が積み重なっていくことになりかねませんので、速やかに子の監護者指定・引渡の審判（あわせて審判前の保全処分）を家庭裁判所に申し立てることを検討すべきです。
計画書の提出は、それが直ちに有利な方向に働くかは正直何ともわかりません。出すことで任意に引き渡してくれるなら、それが一番ですので、その可能性にかけてみてもよいかとは思います。また、上記の家裁での手続きを起こす場合、相手の意向とは無関係に裁判所も今後の監護・養育の予定は聞いてきますので、それに備える意味で計画を立てることは有益かと存じます。

お互い同意して離婚できないなら、家庭裁判所での離婚調停、調停が成立しないなら同じく家裁での離婚訴訟で離婚の判決がもらえば離婚できます。
調停もお互いの合意は必要ですが、調停員や裁判官という第三者を通じての協議となり、初めは一方が拒絶していても、お互い冷静になったり、ある程度調停員がアドバイスしてくれることなどで離婚成立となる場合があります。調停でだめなら訴訟を起こします。訴訟では裁判官が法的な離婚原因アリと認めてくれるかがポイントになります。すでにある程度の期間別居されており、同居期間、別居の理由・経緯、別居期間中のやり取りの有無・内容等によってはすでに婚姻関係が破綻しているとして離婚が認められる可能性があります。

相手と直接交渉することをなるべく避けるという意味では、離婚調停を申し立てる、弁護士に依頼し交渉の窓口にすることが考えられます。
記載の限りでは、訴訟で一方的に離婚が認められる程度（法的離婚事由がある程度）には達していない可能性のほうが高いかと思いますが、現時点での妻の言動や行動を、録音、録画、日記で記録化するとともに、かかった金銭の請求書や領収書等も保管しておきましょう。離婚自体は妻が応じさえすれば成立するわけですが、離婚を切り出した場合にどのような回答や条件が出るかは何ともわかりませんので、まずは相談内容にあるような妻の言動等をのこすところからはじめるべきかと思います。
同時に、お近くの弁護士に直接相談して、今後の動き方のアドバイスをもらっておきましょう。