親権は離婚時に決めるものなので、離婚調停や離婚訴訟の中できめていくことになります。ただし、相手方が監護する状況が継続しその監護に大きな問題がないとなれば親権判断の場面でそのことが相手に有利に働きえますので、親権を希望するなら離婚前に監護者指定及び子の引渡しの審判（あわせて審判前の保全処分の申立）を行い、離婚前に子の引渡しを実現しておくべきです。監護者や親権を得られるかは、お子さんの年齢、別居前の監護を主として行っていたのは誰か、具体的な生活状況の内容、別居後及び今後の監護の予定（監護補助者の有無等）によります。

ごく一般論として、不貞と親権者の判断とは別といわれます（不貞にかまけて子どもを配偶者に任せていたとか、育児放棄していたといったようなケースは別）。
相談者の場合は、これまでの育児を主として担ってきたということのようですから、むしろ、離婚後の住居や生活設計、子育ての環境の構築や今後の計画といったところを隙無くしっかりと準備できれば親権を取れると思います。
しかし、そういった見立てや計画を立てずに突発的に離婚や別居という動きをしてしまうと揚げ足を取られる可能性があるので慎重に動く必要はあります。

親権は成年に達するまでの子に対する概念ですので、お子様二人はすでに親権に服することなく、自身で居所等の判断ができることになります。相談者と一緒に暮らすのかどうかは、お子様方それぞの判断で行う、というのが理屈になります。
婚姻時、相談者が姓を変えている場合、現在の戸籍の筆頭者は夫で、離婚する場合、相談者は新たな戸籍を作るか、元の戸籍に戻ることになります。お子様二人は、そのまま夫筆頭者の戸籍に残ることになります。
子が相談者と同じ戸籍に記載されるためには、子が家庭裁判所に氏の変更許可の審判を申し立て、相談者と同じ氏（姓）になる必要があります。成年しているので、これはお子様方ご自身の判断で、お子様方それぞれが自分で申し立て手続きも行うことになります。
なお、同じ戸籍にのるかということは親子関係そのものとは一切関係がありませんので、別の姓のまま相談者と同居しようが、それはお子様方の自由となります。日本社会では、未だに戸籍の記載や氏（姓）に特別な価値を見いだす人が多くあるように思いますが、戸籍は実際には行政が管理する住民の帳簿のようなもので、戦前と異なり、「同じ」戸籍ということに法的な意味や価値はなにもありません。
「跡取り」のような仕組みも制度も存在していません。
まとめると、夫の希望はともかく、相談者の経済力といった事情とは無関係に、成年している以上お子様自身が、居所も、戸籍も選択可能ですし、お子様本人が決めるべき、ということです（未成年者の場合は親権者が子本人に代わり決められる）。
ちなみに、戸籍が異なろうと親子関係があることに変わりはありませんので、夫が子に何かを継がせたいなら、それもまた戸籍とは無関係にやればよいだけということになります。

親権は未成年子に対するものです(民法818条1項)。18歳で成年に達するということは、その時点で親の親権から離れることになります。親権には子の財産管理も含まれていますが、お子さんが成年に達すれば妻はもはや親権者ではなくなりますので、親権者として財産管理をすることは法的にはできません。法的には成年した子に直接食費等を渡すことは問題ないですし、妻に渡す法的な義務があるわけでもありません。
もちろん、子も含めた皆で話し合って妻が管理したり、子が自分の判断で妻に管理してもらうこと自体は構いません。
なお、成年に達するかは年齢で決まることなので、大学生かどうかなどは直接関係ありません。

＞子どもを私に預けてアパートで寝泊まりしています
これは現在の話しではないのですか。ご相談者のもとにお子さんがいるなら引渡請求は不要です。早急に十分な監護態勢を準備し、妻からの監護者指定及び子の引渡し請求に備えるべきです。
もし今は妻の元にいるということなら、逆に相談者の側から監護者指定及び子の引渡しの手続を取る必要があるかと思います。その場合、妻の従前の監護がどのようなものだったのか、時系列でまとめて直接弁護士に相談されることも検討されるべきかと思います。

まずは、具体的に妻がどのような生活をしているかを客観的な記録に残すことかとが重要です。
その上で、主にお子さんたちの世話や関係機関との連絡などを相談者が行っているとすれば、相談者が監護者や親権者と指定される可能性は高まるでしょう。
さらに、妻と協議の見込みがない・協議がうまくいかない、ということであれば、お子さんたちを連れて別居するなど妻から離れる選択肢もとらざるを得ないかもしれません。
そのあたり、具体的にどう進めていくのがよいかについては、お近くの弁護士に直接相談されるのがよいかと思います。

モラハラがどのような内容なのか次第でもありますので、イコールあなたに有利になるかは何ともいえません。もちろん、夫が欲しいと言ったからといって、それだけで夫の親権が認められるわけでもありません。いずれにせよ、家庭内のことについて、後から証拠を出すことは難しいので証拠という意味だけでなく備忘としてもメモや日記は残しておいた方がよろしいでしょう。

親権や監護権は、それまでどちらが中心に子育てをしてきたのか、その内容、別居後や離婚後にどうやって監護していくのか、手伝ってくれる人の有無（監護補助者）等など、あらゆる事情から総合考慮されます。
出産後、あなたが中心に子育てをしてきた（子どもと多く接してきた）のであれば、あなたが有利と考えるのが一般的でしょう。