ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

保証人にでもなっていない限り、当然に孫の養育費を支払う義務はありません。応じられないと言って良いです。
とはいえ、本来息子さんの問題である以上ご本人に動いてもらうほかありません。どのように養育費を決めたのかによりますが、息子さんが相手に事情を話して交渉するか、ご事情によっては家庭裁判所に養育費の減額調停を申し立てることも考えられます。いずれにせよ放っておけば未払額が増えていくだけなので息子さんを諭して何らか動くよう説得した方がよいです。動き方が分からなければ直接法律相談を受けるか、依頼して交渉なりしてもらうことも検討対象です。ただ、いずれにせよ現状どうすればよいか分からないということなので、やはり一度お近くの弁護士に相談されるのがよろしいかと思います。

このままでは強制執行もできないので、特別費用について任意に支払に応じてくれないなら、その点について調停を申し立てるほかないです。
何をどのくらい認められるかは、調停等での協議の経緯や、お子さんの進学先（公立か私立か）、進学先等についての協議状況や双方の学歴、収入等、様々な要素の総合考慮となります。

裁判所の算定表と記載の情報に従えば、相当な範囲の金額で不当に高いということはありません。算定表は書籍や裁判所のホームページでどなたでも閲覧できるのでご自身でも確認してみてください。

また、調停成立後に減額（増額）請求すること自体は可能ですが、調停成立時には予見できなかったような収入の増減があったなど、一定の根拠がなければ認められません。

弁護士会や自治体等の無料の法律相談会が沢山行われていますので、まずはそういったところで相談されてみてはいかがでしょうか。依頼する場合も、収入等の要件によっては法テラスの民事法律扶助の制度を利用できる場合もあります。
相談はやはりご本人がされるのが望ましいです。詳しい事情や今後の方向性はご本人でないと具体的な相談・回答が難しい場合が多いのと、場合によっては依頼へとスムーズに進める等のためです。ご家族が相談される場合でもある程度一般論としての回答にはなろうかと思いますが、離婚に向けた手続の説明や必要なもの・情報等のアドバイスはできると思います。

＞結婚をし、子供ができた時に養育費の減額請求をしてほしいのですが、彼との間で取り決めの書面を交わす際の要点を押さえた書き方を教えて欲しいです。
→どういった取り決めをするのかによります。もし、養育費の減額請求をすることを約束するといったものだと、仮に約束を交わしても強制力がありません。同居についても同様で、紳士協定的なものとして男性と約束することは可能でも、同様に強制的に実現する方法がありません。

裁判所から届いたのは差押に関するものではなく、財産開示に関するものでしょうか。一旦差し押さえがなされると、養育費の場合は将来分の差押が容易に可能など一般債権より優遇されているため、相当な好条件を提案しないと相手側は差押を取下はしないでしょう。一方、まだ差押に至っていないということしたら、提示する支払条件によっては差押までは至らない可能性もある程度は（少なくとも差押後よりかは）残されていると思います。
裁判所から届いた書面に関する対応も含めて、記載されているとおり早急に弁護士に直接相談されるべきです。
個別の法律事務所へ問い合わせてアポを取るか、弁護士会や法テラス等の法律相談会を利用するなど、様々なチャンネルがありますので、お近くの事務所や相談会等でご相談されるのがよろしいかと思います。