1．協議離婚：当事者同士で協議し、協議離婚届を提出することで離婚成立
2．調停離婚：家庭裁判所で離婚について協議する。基本的に相手と直接話さず調停委員を通じてお互いの希望や条件を協議する。合意が調えば離婚成立
3．離婚訴訟：調停でも成立しない場合の最後の選択肢。原則調停を経てからでないと利用できない。この段階では協議ではなく、法的な離婚事由（民法770条1項）の有無等から裁判官が離婚の成否を判断する。
おおむね上記の流れになります。
現在は1の段階にあるのかと思います。

相手が離婚を拒否していることや、記載されている内容はいわゆる性格の不一致であり、それだけでは3の離婚訴訟では離婚が認められない可能性が高いと思います。明確な離婚事由がなくとも夫婦関係が破綻していたと認定されれば離婚が認められることがあります。破綻しているかはそれなりにハードルが高いですが、一般的には別居期間の長さがポイントになることが多いです。別居期間の長さは単に年数で決まるわけではなく、同居期間の長さとの相対関係で考えられます。婚姻期間はまだ短いようですので、離婚を前提とした別居であれば比較的短い期間で破綻が認められるはずです。
また事実上の話ですが、調停で話し合うにしても、同居のままでは調停のメリットのひとつ（調停委員という第三者を介して直接話さなくてすむ）が消えてしまう可能性もあります。
したがって、相手が離婚を拒み、今後も翻意が難しそうなら、どこかのタイミングでは別居した上で、離婚調停、離婚訴訟と進んでいく方が結果的に早く離婚が成立する可能性があります。

弁護士に依頼するのは、1～3の各段階どこからでもできますが、別居の準備等も含め、一度お近くの弁護士に相談だけでもされておくことをおすすめします。

協議離婚でも、調停離婚でも、ともかく相手にい離婚に応じてもらうほかありません。
3度調停して駄目だったならなおさら離婚訴訟しかないとは思いますが、それでも訴訟以外でいうなら、相手の希望を聞いて相手に相当有利な離婚条件を示す、くらいしか思いつきません。
離婚したいと考える理由、3度の調停の経緯や内容、別居の有無・期間などによっては離婚訴訟で離婚が認められる場合もあります。訴訟を忌避する理由が何かおありなのでしょうか。

まだ服役中なら移送先を探す必要があります。また、これまで離婚に応じる気配がなかったなら、離婚調停・離婚訴訟を起こすことを検討した方がよいかと思います。
原則は離婚調停から始める必要がありますが、事情によっては離婚訴訟から始めることを裁判所が認めてくれる場合があります。服役した理由等によりますが法的な離婚原因ありと認められれば夫の意思に関わらず離婚が成立します。

もちろん、離婚に任意に応じてくれるならそれが一番早いですが、経緯からすると難しそうなので、離婚訴訟で離婚できないかを検討すべきでしょう。

確かに同居義務というものがありますが、裁判所が強制的に同居を実現できるわけでもなく、離婚を前提に別居を敢行するということは世の中では多く行われていることで、ご相談のような状況下での別居で何か不利になると言うことは実際にはないでしょう。
子どもの連れ去りについては確かに注意が必要です。
保育所等には事前に状況を説明してご自身以外に引き渡さないよう連携を取っておきましょう。
夫には親権があるため、渡さざるをえないと答えられることもありますが、日頃から保育所等と信頼関係を築いてお願いしておくことが重要です。
また事実上、連れ去りを防ぐために、別居後早期に離婚調停や監護者指定の審判の申立を行うことも検討してみましょう。

協議でも調停でも相手が離婚に応じてくれない場合、離婚訴訟で離婚の判決が出るかによることになります。
ご存じかもしれませんが、離婚訴訟をしても、原則、有責配偶者からの離婚請求は認められません。
例外的に認められるための３つの要件が判例により示されています。
・同居期間や夫婦の年齢等との兼ね合いで相当期間別居している
・未成熟子がいない
・非有責の配偶者が経済的に苛酷な状況に置かれない（相応の経済的補償をしている・提案している等）等
なお、それぞれの要件をどう判断するのか（独立してみるのか、他の事情等も考慮して相関的に判断されるのか）といった細かい点で専門家によっても見解の相違はあるかと思います。
５年の別居期間ということだけで判断できるものではありませんが、同居期間が短く、未成熟子もいないとか、有責とまではいかないが一定の非が相手にもある、といったケースなら認められる場合もあるかもしれません。
また、これまでの交渉経緯にもよりますが、相手の気が変わり離婚に応じてくれることに期待し、慰謝料や財産分与等で相手に有利な条件を示すことも考えられます。

どのような内容なのかにもよりますが今後変わる可能性があるなら、公正証書作成後速やかに離婚届を提出する流れにするのが無難です。一度離婚届を出してしまった後から、本当はその条件では離婚したくなかったと言っても通常その主張は通りません。

＞私はどのように動けばいいのか教えてください。
家庭裁判所に離婚調停を申し立てることです。
調停も協議ではありますので、妻が応じなければ離婚は成立しませんが、明確な離婚原因がなくとも、調停の場で離婚の希望や条件などを話し合うことで妻が離婚に応じるケースもあります。
調停は交互に部屋に入り調停員に対しお互いの言い分なりを話すというかたちで進みます。妻と直接話しをするわけではありませんので、ケースバイケースとしかいいようがありませんが、当事者同士直接では話ができなかった場合でも離婚に向けた協議ができる可能性はあります。
いずれにせよ、妻が連絡に応じない以上、早期の離婚を目指すなら次なる手段は離婚調停ということになります。
また、法的な離婚原因がなく調停では離婚成立せずとも、別居期間を積み重ねることで夫婦関係が破綻したとして訴訟で離婚が認められることもあります。その際に離婚調停をしていることは訴訟を提起するための前提条件になりますし（調停前置主義）、調停で離婚について主張、協議したことが破綻の有無の認定にプラスに働くこともあります。
繰り返しになりますが、離婚調停を申し立てたからといって必ず離婚が成立するものではありませんが、当事者同士の話し合いというところからステージを移すことで前向きな協議ができる可能性はあります。今すぐ調停すべきかなど具体的な動き方については何とも言えませんが、妻が連絡に応じない以上、離婚調停を検討するほかありません。