あなたの夫がどのように前妻との間で養育費の金額を定めたのかは不明ですが，仮に，当時の双方の収入に照らして「月に２０万円」と決めたのだとすれば，現在，夫が退職により減収となったことを原因として，養育費の減額を求めることには，正当な理由があると考えられます。
そこで，早急に養育費の減額を求める調停を申し立てるべきではないかと思います。

お子さんの出産が，元夫との婚姻成立から２００日経過後であれば，嫡出推定（民法７７２条２項）が及ぶため，父子関係を否認するには，元夫が子の出生を知った時から「１年以内に」嫡出否認の訴えを提起しなければなりません（７７７条）。
しかし，すでにお子さんが３歳になったということなので，上記の場合であれば，原則として，元夫との間の嫡出子であることを否認できず，父子関係は切れないことになります。
例外的に，外形的客観的に見て元夫との関係が明らかに破たんしていた場合などは親子関係不存在確認の訴えによることもできる可能性がありますが，お話を聞く限り，これには該当しないように思います。

他方で，出産が元夫との婚姻成立から２００日以内であれば，嫡出推定が及ばない嫡出子になるので，親子関係不存在確認の訴えが可能です。
この方法により，元夫とお子さんとの父子関係を断つことができれば，実の父親に対し，認知を求め，認知後に養育費を請求することが可能です。

１　出産費用について
　　請求される可能性があります。しかし，出産一時金の申請をしていて，一時金の給付を受けたのであれば，その分は控除すべきではないかと思います。
２　過去の養育費について
　　これまで養育費について何ら取り決めがなく，相手の女性からも請求がなかったのであれば，原則として，過去の養育費については支払う必要はありません。
３　今後の養育費について
　　まだ養育費について取り決めていないのであれば「減額」というのは適当ではないです。
　　おっしゃりたいのは，減額された今年の給与を基準に養育費を取り決めたい，ということだと思いますので，昨年分の源泉徴収票を提示しつつ，本年の給与明細を示し，昨年の給与から減額されたことを証明すべきだと思います。

親権の争いとなった場合，同居中の主たる子の監護者が誰だったか，現在の監護状況はどうか，お子さんが10歳以上の場合お子さんの意思はどうか，といった観点から検討されます。

これまで，あなたが主にお子さんの面倒を見てきたというのであれば，別居に際し，あなたがお子さんを連れて行って，母子楽しく生活できるのであれば，親権を取れる可能性は高いのではないかと思います。

夫と別居したい，離婚したいというお気持ちは理解できるのですが，別居した後の生活，主に経済面についてどれくらい具体的に検討しているかが重要ではないかと思います。別居に踏み切るのであれば，その前に，具体的にどのような収入を得て，どの程度の支出が生じるのか，シミュレーションしておくべきだと思います。

お子さんが３人いらっしゃるとのことですから，なるべく養育費の支払が確保できるよう公正証書を作成するか，調停を申し立て，調停調書に養育費のことを記載してもらうのがよろしいかと思います。
家の名義変更についても書面化しておく方が安心でしょう。

夫の転居先は，夫が住民票を異動していれば，離婚後であっても養育費の請求などを理由に調べることは可能です。転職先については，養育費の未払いがあれば，調査することはできますが，前提として調停調書などの書面により養育費が認められている必要があります。

１　過去の養育費について
　　過去の養育費は支払うべき義務はないです。養育費は，子の「現在の」生活を定期的に充足させるための費用であり，過去分については充填のしようがないからです。請求時又は養育費調停申立ての月からの養育費の支払いで構いません。
２　面会交流ができなかったことの慰謝料請求について
　　そもそも，面会交流は，子の権利であり，本来は，非監護親（子と生活していない親）の権利ではありません。非監護親は，子の面会交流権の反射的効果として，一定の限度で面会交流権を有するのだと考えられます。
　　また，現時点で認知をしていない以上，生物学的にはともかく，法律上は父ではないので，面会交流というのは想定できません。勿論，あなたとすれば，認知すると申し出ていたにもかかわらず，相手が無視していたため認知ができず，したがって，面会交流ができなかった，ということをおっしゃりたいのだと思います。ただ，やはり現実に認知をしていないことからすれば，面会交流権を主張することには違和感があるように思われます。
　したがって，面会交流ができなかったことについて慰謝料を求めることは現実的ではないと思います。

　むしろ，認知をして，今後の養育費の支払いについて取り決め，他方で，今後の面会交流についても取り決める，という方が実態に即した解決ではないかと思います。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。