裁判を提起し，夫の不貞相手に対し，「金○○円を支払え」という判決が出た場合，それでも不貞相手が任意に支払わないのであれば，その女性の財産に対して強制執行を申し立てることが可能です。
もっとも，その女性がめぼしい財産を有しない場合(預金口座に残高がない，不動産，自動車などの高価な財産を有していない)，強制執行をしても回収ができないという可能性はあります。

認知をした以上，夫は，法律上の父であり，その子に対する扶養の義務がありますので，養育費を支払う必要があります。

現在支払っている養育費が，あなたたち夫婦の状況（収入，扶養している子の人数）と相手の収入状況に照らし，相当な額であれば，減額は難しいでしょう。免除，ということは，相手の女性が応じない限りは考えにくいです。

相手女性から貞操権侵害を理由に慰謝料を請求される可能性はありますが，ご指摘のとおり，既婚者と気付かなかったとは思えないと反論したらよいと思います。

貴方の方から女性に慰謝料請求することは可能です。但し，相手の女性が不貞行為時に，夫が「既婚者であることを知っていたこと」または知り得たことが必要です。

不貞慰謝料又は離婚慰謝料が必ず配当原資に充てられなければならないかというと，疑問に感じます。
以下の点は，少し専門的な話になりますが，詳しく説明すると長くなるので，分かりやすい説明は割愛します。
自宅を所有しながら破産となると，他の資産の有無や残ローンと自宅評価額との差額にもよりますが，管財事件になる可能性が高いと思われます。
管財事件だと，自由財産の拡張の申立てが可能であり，慰謝料については，自由財産拡張を申し立てればそれなりの金額は拡張が認められるように思います。
要は，破産しても慰謝料を（全額ではないかもしれませんが）手元に残せる可能性があるということです。

妻に対する慰謝料請求を認めさせるに足りる証拠が揃っているのであれば，慰謝料請求を先行し，勝ち取った慰謝料から申立費用を捻出して破産申立てをするというのでもよいように思いますが，詳しい事情が不明なので明確な回答はできません。

不貞相手の携帯電話番号が分かれば，弁護士に依頼することが条件となりますが，弁護士がその携帯電話番号につき登録されている名前，住所等を調べることは可能です。
職場に対して照会をかけるのは，おっしゃるとおり，退職するリスクがあると思われます。

不貞相手の氏名を調べる何らかの端緒がないと，弁護士といえど，調査は著しく困難です。
最も手っ取り早いのは携帯電話番号です。

離婚後に発覚した離婚前の不貞行為について慰謝料請求は可能です。
不貞の事実を知ったのは離婚後であっても，不貞による損害(あなたの夫としての権利の侵害)自体は，離婚前の不貞時に発生していたと考えられるからです。
元妻が不貞を認めない場合，「不貞行為と見られるフォルダ」の内容が重要になります。一般人から見て，不貞をしていると認められる程度の証拠となり得るか検討してください。

他方，「財産分与の見直し」というのは疑問です。不貞の事実の有無と財産分与は通常リンクしないからです。

不貞の証拠がＬＩＮＥしかなくても，慰謝料を取れる可能性はあります。
但し，ＬＩＮＥの内容がどのようなものかによります。
要は，一般人から見て，夫とその女性とが不貞行為をしたと認められる内容かどうか，ということです。
さらにいうと，不貞行為の日時などもなるべく特定したいところです。

また，仮に，上記の点をクリアしたとしても，実際に請求にあたっては，女性の氏名，住所が分からなければ請求のしようがありません。

そのため，夫とその女性とのＬＩＮＥの内容がどのようなものか，また，その女性の氏名，住所を調べることができるか，が請求の可否を決めることになります。

なお，夫が弁明している「ホテルに行ったが，身体の関係はなかった。」という内容は，一般的には認められることはないと思います。

あなたと交際相手との関係が「婚約」といえるのであれば，「慰謝料請求」は，「不当な婚約破棄」を原因として行うことになります。
「婚約」といえるかどうかですが，チャットの「結婚の話や同棲，記念日についての会話」の具体的内容によります。
要は，ピロートーク的なその場のノリや軽い気持ちで述べたものか，真剣に婚姻に向けた話かによるということです。

あなたが県外の会社に就職し，交際相手と同棲するために賃貸物件を申し込んだということはプラスに働く事情になると思いますが，一般的に「婚約」は，例えば，結婚式場の予約，両家顔合わせ，結婚指輪の購入等の分かりやすい結婚に向けた動きがあった方が認定しやすいです。
仮に，「婚約」といえる場合，次に，交際相手による婚約破棄が「不当」といえることが必要ですが，その点は，「他に好きな人ができた」というのは不当というほかないので，問題ないと思われます。

なお，モラハラ，というのは本件とは異なるように思います。
性格の不一致は，広い意味では該当しますが，不当性という点からは，他に好きな人ができた，という理由の方が不当性が明らかなように思います。