詳しい事情や婚姻後築いた財産（預貯金、不動産、その他の財産）の内容にもよりますので、正確なところはわかりませんが、不貞が離婚の理由だとすれば、本来、相談者が離婚の慰謝料を支払わなければならない可能性があります。婚姻後の財産があるのだとすると、それは慰謝料とは別で財産分与の問題として解決すべきです。財産分与は基本的に不貞の有無は関係なく、婚姻から夫婦の協力関係が壊れるまでの期間に形成された財産を分けることになります。

事情が分からないので、あくまで仮定ですが、夫の解決金の提案が相談者には慰謝料は請求せず、財産分与もしない、という意味が含まれているなら、相談者としては適正な慰謝料は支払いつつ、財産分与は通常どおり求めることができるだろう、となります。

当事者間の約束として交わす分には問題ないと思いますが、強制執行を行うことを前提にするとかそういったことも含めて考えるなら問題があります。
財産分与の対象財産が何でいくらなのか（調停等で財産分与を行う場合はそこから始まります）分からないと対象財産の特定ができず、割合だけ決めても分けようがないからです。全体像が分からないと結局は分ける際に妻とトラブルとなり根本的な解決になりません。
別段どちらかの口座に全部を分ける必要が当然あるわけではありませんが、これも上記と同じで全体像が分からない限り、その金額をどう分けるかが決められないと思います。

やめさせることを強制することはできませんが、調停等で第三者もいる場所で理解してもらうための話し合いをすることはできるかもしれません。
それでもやめてくれそうにない、たえがたいということであれば別れることも選択肢ではあると思います。

＞財産分与がまだで先に離婚届を出すとどうなるか？
⇒お互い離婚する意思があり、届ける分には可能です。離婚時に必ず決めなければならいのは、離婚すること、親権、です。財産分与は離婚後2年以内であれば裁判所の手続を行えます。
ただし、一般論としては、離婚や別居してしまうとお互いの財産の把握が一層難しくなるとか、財産分与の協議をするモチベーションの低下など、事実上協議しづらくなることはありえます。

＞不倫浮気なし性格の不一致で慰謝料発生するか？
記載のとおりであれば、慰謝料は発生しません。

再婚相手と離婚の話になった場合の財産分与のご相談と理解しました。

財産分与は夫婦の協力関係により築いた財産を離婚を機に清算しようという仕組みです。よって、別居していたり、夫婦の協力関係が壊れた後の財産は対象外と考えます。退職金も同様で、退職金の計算の基礎となる勤続期間と婚姻期間(同居期間)の割合で計算するのが通常です。例えば勤続20年で婚姻期間が10年という場合、退職金の半分を財産分与の対象とするなど。

再婚前に退職し、再婚前の勤務期間に応じた退職金を受領したということであれば、再婚前の再婚相手との協力関係は通常観念できないので、全額特有財産となるでしょう。
別の観点のお話として。再婚相手との婚姻生活が数年、数十年と継続していった場合。退職金が現時点特有財産だとしても、再婚後に給与の入金や生活費の出金が繰り返されていった場合、共有財産か特有財産の区別がつかなくなる場合があります。その場合、将来の財産分与の場面では区別がつかないので共有財産とみなされる、という事態がありえます。これを避けるには、退職金の入っている口座はそのような用途に用いず、退職金は退職金としてそのままのこしておくことです。

なお、給料の後払いの性質、という言い回しは、退職金を財産分与の「対象」と考える場合の言い回しです。

基本的には次のように考えます。
【基準時】の自宅の【評価額】と残ローン金額を比較し、後者が上回れば（オーバーローン）財産分与の対象外、前者が上回るなら（アンダーローン）ローンと評価額の差額部分が分与の対象。

【基準時】はケースバイケースですが、離婚時や破綻時（別居時）です。
【評価額】は明確な一律の基準があるわけではないので、当事者間で合意できるなら固定資産税評価額や路線価を参考に決めることもありますし、協議では決められない場合、最終的には裁判所の手続の中で不動産鑑定士の評価額で決まるということもあります。ベターなのは、まずは不動産会社の簡易査定等を利用して市場価格を把握することですし、実務上は複数の査定を取得してそれをもとに主張していくことが多いです。

＞はっきりした収入や貯金など分からない状態です。
＞自分で調べるのが難しいのでここの部分からから弁護士さんに依頼したいと考えています。
上記について
弁護士会照会（23条照会とも）や裁判所の調査嘱託といった手続の利用が考えられるのですが、夫の財産を網羅的に調べたり、いきなり銀行の口座の内容を調べたりすることができるわけではありません。
少なくとも何らかの根拠となる資料や具体的な情報が必要です。例えば銀行口座なら銀行名、支店名等の情報等です。
夫の給与明細、源泉徴収、夫名義の預貯金の通帳、証券会社等からの通知、保険証券、不動産関連（固定資産税の通知書、ローンの償還票等）など、夫名義の財産に関係ありそうなものはコピーや写真に撮っておくべきです。別居後、これらの資料を夫が任意に出す以外の方法で集めるのは困難だからです。