ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

弁護士会や自治体等の無料の法律相談会が沢山行われていますので、まずはそういったところで相談されてみてはいかがでしょうか。依頼する場合も、収入等の要件によっては法テラスの民事法律扶助の制度を利用できる場合もあります。
相談はやはりご本人がされるのが望ましいです。詳しい事情や今後の方向性はご本人でないと具体的な相談・回答が難しい場合が多いのと、場合によっては依頼へとスムーズに進める等のためです。ご家族が相談される場合でもある程度一般論としての回答にはなろうかと思いますが、離婚に向けた手続の説明や必要なもの・情報等のアドバイスはできると思います。

養育費は離婚することや親権が決まってからのものではあるので、まずは離婚に向けた協議をしていくことになります(その中で養育費の希望額の提示などを行うことになるでしょう。)。
ＤＶとあることや離婚後の生活設計のため、また離婚の意思を明確にするという意味で別居することも検討したほうがよいかもしれません。
公正証書や離婚調停、判決で決まれば未払い時に強制執行が可能となります。
いずれにせよ、一度直接弁護士に相談し、夫が拒んでも訴訟で離婚は成立しそうかや今後の進め方について詳細なアドバイスをもらうことをおすすめします。

婚姻して、やはり気が合わなかったから離婚となってもそれで慰謝料が発生するものではありません。むしろ、合わないことがわかって婚姻したとなれば、なおさら難しいです。離婚をするにも、基本的に相手の合意が必要です。離婚訴訟で離婚の判決をもらえれば可能ですが、婚姻後の事情も関係してきます。最終的に離婚できたとしても、何年も先ということも十分ありえます。また、首尾良く離婚できたとしても、お子さんをどうするのでしょう。

出産するか婚姻するか、最終的には相談者ご自身の気持ちや考えが重要で、押し切られるかたちだったとしても、応じるかたちになれば、後から相手を責めても、そうはいっても相談者も最後は応じたんでしょうと言われてしまいます。
特に出産は、出産後のお子さんの生活や人生のことも考える必要があります。
今H相手からも色々言われて大変な状態かと思いますが、相手の言っていることから離れて、ご自身、さらにはお子さんの人生にとっての決断というところに立ち返り、冷静に考える時間が必要なのではと思います。
弁護士に全ての回答が出せるものではありませんが、例えば出産・婚姻した後の想定される法律問題、といったかたちで、一度直接弁護士に相談してみるのもよいかもしれません。

裁判所から届いたのは差押に関するものではなく、財産開示に関するものでしょうか。一旦差し押さえがなされると、養育費の場合は将来分の差押が容易に可能など一般債権より優遇されているため、相当な好条件を提案しないと相手側は差押を取下はしないでしょう。一方、まだ差押に至っていないということしたら、提示する支払条件によっては差押までは至らない可能性もある程度は（少なくとも差押後よりかは）残されていると思います。
裁判所から届いた書面に関する対応も含めて、記載されているとおり早急に弁護士に直接相談されるべきです。
個別の法律事務所へ問い合わせてアポを取るか、弁護士会や法テラス等の法律相談会を利用するなど、様々なチャンネルがありますので、お近くの事務所や相談会等でご相談されるのがよろしいかと思います。

戸籍等も確認しないと正確なことはわかりませんが、おそらく子の父は元夫として出生届が出され、戸籍にもそれに従った記載がなされていることかと思います。
元夫と子の法的な親子関係を否定するには、原則、「嫡出否認」という手続を「元夫」が子の出生が1年以内に裁判所に申し立てる必要があります。1年過ぎている場合、「親子関係不存在確認」や真実の父に対する「強制認知」という手続によらなければなりませんが、妊娠前後の期間別居していたであるとか、元夫ととの子でないことが客観的状況から明らかだといえることが求められます。
嫡出否認によらずに手続が可能かは、具体的な事情を詳細に把握する必要があります。

大前提として、その男性が子どもたちを認知していることが必要になります。もし、認知がまだなら、任意認知を求め、拒否するようなら家庭裁判所での認知調停、認知訴訟と進むことになります。
認知済み、あるいは任意認知に応じるとなれば、公正証書の作成は可能ですし、公正証書を残すことが望ましいです。口約束や当事者同士だけで作成した書面だと、未払いになった際にすぐに強制執行（口座や給与の差押）ができませんので。
もし、認知成立後、相手が養育費の支払いに応じないなら、やはり家庭裁判所で養育費の調停・審判をおこなうことになります。

公正証書では、月ごとの養育費の金額、始期と終期（いつから支払が始まり、いつ終わるのか）、特別費用について（例えば私立大学に進学する場合の学費の扱いなど）等を決めるのが一般的です。