ご回答させていただきます。

離婚後に元夫が適切に養育費を支払ってくれない場合には、家庭裁判所に養育費の支払いを求める調停を申し立てる必要があります。
家庭裁判所で養育費が決まった後、養育費の支払いを怠った場合には、給与などを差押することが可能です。

ご自身で調停を申し立てることは可能ですが、手続きがご不明などの場合には、弁護士にご相談されることをお勧めいたします。

①和解金の外に、慰謝料請求をされる可能性ですが、和解金は、和解金を支払えば、それ以上の請求はしないとの趣旨です。通常は、和解契約書・示談書に、精算条項という項目を作って、この書面で約束した以外の請求はしないと記載します。これ以上の請求はしないとの趣旨で30万円を支払ったのかどうか、示談書は作成されたのかどうか。
②離婚後に貸した100万円ですが、返す約束でお金を渡したのであれば、法律上は返還請求ができます。問題は、現実の問題として、返して貰えるかですが、相手の状況・支払い能力から、返還は無理ではと思います。

　まず、相手方が離婚に応じるかどうかが問題になります。
　相手方が離婚に応じない場合には、裁判手続により離婚が認められなければ離婚できません。そして、価値観の違いや性格の不一致というだけでは離婚は認められませんので、上記の事情だけでは認められない可能性が高いです。
　次に、相手方が離婚に応じた場合には、財産分与、養育費などの離婚に伴う清算が法的に発生します。
　財産分与はご自身と相手方の共有財産を半分にし、分配することをいいます。
　養育費は、お互いの年収によって計算されることが通常です。
　もっとも、協議離婚の場合には、お互いが合意すれば、相場より高くても低くても自由に決められます。
　離婚に伴う清算は、その事案毎、ケースバイケースで対応が変わりますので、お近くの弁護士にご相談された方が良いと思います。
　弁護士にご依頼されるかは、ご相談された後でも遅くはありません。

不倫相手に対する慰謝料請求についてご回答させていただきます。
不倫（不貞）の証拠については、不貞相手方が認めているのであれば、証拠がなくても問題ありません。
しかし、不貞相手方が、不貞の事実を不貞された場合には、証拠に基づいて不貞の事実を証明する必要があります。
まずは、弁護士にご相談いただき、お持ちの証拠関係を確認してもらうことをお勧めいたします。

お困りとのことでご回答させていただきます。

・自白で慰謝料請求はできるか
→　相手方が不貞の事実を認めていることも一つの証拠になります。
　　話し合いをする際には、音声を録音し、後日証拠として提出できるようにしておくことをお勧めいたします。

・話し合いの時に無言は肯定とみなしますと伝えても脅迫等問題にならないか
→　脅迫等にはなりませんが、無言であるからといって、肯定したことにはならないため、その点は注意が必要です。

・夫の自白で不倫相手に慰謝料請求できるか
→　ご主人の自白によって不貞相手に請求することも可能ですが、不貞相手がご主人が既婚者であることを知っているなど、故意が必要になります。

・夫婦関係が破綻していると言われた時に否定できるか※
→　ご指摘いただいた内容程度では破綻と評価はされないです。

ご相談内容によれば、婚姻関係にない当事者から産まれてきた子どもであると思われますので、まずは当時付き合っていた彼氏の認知がなければ、養育費を請求することはできません。
当時付き合っていた彼氏がお子様を認知した場合には、養育費の請求が可能ですが、養育費の額は、お互いの収入状況等の算定根拠に基づいて決まるので、画一的に決まっているわけではありません。なお、彼女様のお子様とあなたが養子縁組を行った場合には、第１次的な扶養義務をあなたが負うことになりますので、養育費の請求ができなくなるおそれがあります。
養育費の時効は、養育費の合意をし、その支払時期から５年間なので、お子様のご年齢から時効にはなっていませんし、具体的な取り決めもないので、時効が完成していることはありません。
ただし、養育費を当事者間で定めることが難しいときには、家庭裁判所に調停を申し立てることができるのですが、その場合、調停を申し立てた月から養育費の請求が認められることがほとんどですので、必ず過去分に遡って請求することは難しいです。

慰謝料は、不法行為に基づく損害賠償であると考えられますが、時効は、生命・身体を害する不法行為なので、損害及び加害者を知った日もしくは不法行為があった時から２０年間となりますので、時効が完成していないと思われます。
ただし、慰謝料を請求する際には、請求する側が証拠により事実を証明しなければなりませんので、妊娠された経緯の証拠が必要となります。
その証拠によって、慰謝料が認められるか不明ですし、その認められる事実によって慰謝料の金額が変わってきますので、お答えすることは難しいです。

時効が完成していないとはいっても、認知請求をした上で養育費の請求をする際に、争いになれば時間がかかり、時効が完成する可能性もありますし、慰謝料請求の時効の完成も遠くはないので、早急にお近くの弁護士に相談されることをお勧めします。

面会交流権はあくまで元旦那に認められた権利であり、再婚相手に認められた権利ではありません。
そのため、面会交流の際に、再婚相手を連れてこないことを求めることは妥当です。
仮に、相手方こちらの要求に応じず、それでも再婚相手を連れてくるのであれば、面会交流自体を拒否することも十分考えられるといえます。