奥様の退職理由が不明ですが，さしたる理由もなく退職したのだとしたら，潜在的に前職と同水準の収入を稼げる能力があると主張しても不合理ではないと思います。
もっとも，奥様の年齢その他の条件によっては，そもそも同じ業界への再就職が困難であり，現実的に前職と同水準の収入を得られない，ということもあり得るとは思います。

仮に，上記の主張が受け入れられない（裁判所が相当と判断しなかった）場合は，賃金センサス相当の収入を主張して構わないと思います。但し，これも，奥様の退職理由，現在稼働しない理由に関わってくるでしょう。

何にしても，奥様が２年前までフルタイムで勤務していたこと，勤続２０年程度というのは，かなり有利な事情ですので，パートタイマーと同水準の収入しか得られない（稼働能力がない）などということを認める必要はないでしょう。

審判移行の可能性も考慮して，奥様の潜在的稼働能力の主張は客観的証拠を付して行うべきでしょう。

離婚協議書の内容自体について，元配偶者との間で合意していたのであれば，離婚協議書にサインがないことを理由に合意が無効になるわけではありません。
但し，元配偶者が，「合意した覚えはない。」と言い出した場合，離婚協議書にサインがないので，合意の存在を証明できない，合意したという証拠がない，ということです。

ではどうすればよいかというと，家庭裁判所に，「離婚後の紛争調整調停」を申し立て，元配偶者と合意した内容について，もう一度元配偶者と話し合い，家庭裁判所に書面を作成してもらう，というのがよいと思います。

もちろん，元配偶者が応じないということは考えられますが，あなたが直接元配偶者に対して，離婚協議書へのサインを求めるよりは，家庭裁判所を通じて話し合いを求めた方がうまくいく可能性が高まるのではないでしょうか。

１　婚姻費用について
　　婚姻費用の請求権は，請求したときから発生すると考えられるので，過去の分は請求しても支払われないのが原則です。
　　そのため，今からでも婚姻費用を請求した方が良いと思います。但し，あなたより夫の方が収入が高いことが前提となります。
　　離婚または別居解消までは，婚姻費用が発生します。
　　請求したことを証明するため，内容証明郵便又は調停申立てが望ましいです。
２　慰謝料又は見返りについて
　　別居に至った原因によっては，慰謝料の請求が可能かもしれません。しかし，詳しい事情は存じませんが，なんとなく難しいように思われます。
　　「見返り」といいますか，財産分与であれば，考えられるのではないでしょうか。

「夫婦の貯金１４０万円」をあなたがもらい，車を夫に渡す，というのは，「財産分与」の問題です。
財産分与は，婚姻後，夫婦が経済的に協力して取得した財産を離婚に際して清算する制度なので，夫に渡す車の価値が１４０万円（時価。ローンがないこと前提）以上であれば，あなたが１４０万円の預金を取得しても何ら問題はありません。
他方，車にあまり価値がない場合は，下記の慰謝料の点を強く主張し，財産分与＋慰謝料として預金プラスαをもらうことになります。

慰謝料については，「決定的な証拠はない」とのことですが，相手の女性が誓約書をあなたに送付し，慰謝料２０万円を振込んだということですので，その誓約書に，あなたの夫とその女性が不貞行為を行ったことと認め，慰謝料を支払う旨の記載があれば，夫に対する「証拠」となります。
不貞行為は，配偶者に対する他方配偶者（本件では，夫）と不貞相手との共同不法行為なので，あなたは，相手の女性にも夫にも慰謝料を請求することは可能です。ただし，夫と相手女性の責任は，「連帯」しているので，女性から十分な額の慰謝料をとってしまった後に，夫から重ねて慰謝料をとることはできません。
もっとも，今回，あなたは，女性から２０万円しか得ていないということなので，夫に対し，さらに慰謝料請求をすることは可能です。
慰謝料の相場としては，２００万円くらいと思ってください。あなたは，女性から２０万円を得ているので，夫には１８０万円程度を請求することは可能ということです。

ご自身で解決するのが難しければ，弁護士に相談，依頼するのも一つの考えです。

まず，奥様に渡している「カード」を使用できないように，金融機関又はカード会社に紛失の届出をすべきではないかと思います。
そのうえで，適正な金額を「婚姻費用」＝妻子の生活費として奥様に渡し，離婚を求めていく方がいいと思います。
婚姻費用算定にあたっては，あなたが妻子が居住する自宅のローンを支払っている場合は，その点も考慮に入れる必要があります。

とにかく，このままでは，「収入以上に」支出が多い状態が続き，いずれあなたが支払不能に陥ることになるでしょう。
早く手を打った方がよいと思います。

ご自宅については，離婚を求めつつ，退去を求めることになるでしょう。

おっしゃっているとおり，「借りたわけじゃないお金」は返す義務はありません。
お金を借りる際には，「お金を返す」という合意がなければならず，そのような合意がない場合，単に金銭を交付した＝贈与したと見るのが自然です。

他方で，「住宅購入資金の一部を出してもらった」ことについては，離婚における財産分与において検討する余地はあるかもしれません。

「年金分割するな」と言われても，離婚に際して分割を求めることは全く問題ありません。
財産分与の一種なので，義母に請求を禁じられるいわれはありません。

夫が有責配偶者といえるか，という点については，別居の経緯や夫が離婚を希望する理由によるのではないかと思います。
また，DVはどこまで証拠があるのでしょうか。生活費はもらっていますか。
身体の関係を伴わない「LINEだけの浮気」だけで有責配偶者というのは難しいです。

何より，夫が有責配偶者といえたとしても，それがあなたの理想の解決である「離婚せず一緒に住んで子育てがしたい」に結びつかないように思います。離婚しないとしても，すでに夫が別居を強行しており，夫の父母も同居再開を促してはいないからです。
お気持ちを害するかもしれませんが，現実的な対応としては，離婚をせず，夫に婚姻費用（要は生活費）を請求するのがよいように思います。