奥様に不貞相手の情報を開示するよう求めても，素直に話をしてくれない可能性もあるでしょう。
これに対しては，奥様に対する慰謝料請求をちらつかせて，相手の情報を開示するよう求める，という方法で対応するくらいでしょうか。

奥様が情報を開示しない場合「直接相手に連絡を取ろうと思っています」とのことですが，相手の氏名，住所，連絡先も分からないのであれば，連絡が取れないのではないでしょうか。

せめて，相手の車のナンバーか，携帯電話の番号が分かれば，弁護士に依頼することで，氏名住所を調査することが可能です（但し，所有者または契約者がその相手であることを要します）。

不貞相手の氏名，住所は把握していますか？
把握しているのであれば，「不貞関係を断たなければ慰謝料請求せざるを得ない。」といった内容の書面を出し，不貞相手に，事の重大さを認識してもらう，という方法が考えられます。
書面は，可能であれば，弁護士に依頼して，弁護士名で出すのがベターでしょう。

１　親権
　　父母いずれが主な監護者（お子さんの世話をする人）といえるか，主な監護者による監護が適切といえるかが重要な判断基準となります。
　　奥様が「昨年度から」「家事，育児にも参加しなくなりました」とのことですが，①奥様が現在どのような生活をしているのか，②奥様はお子さんたちと日常的にどのようにどれくらいの時間触れ合っているのか，③育児につき「私と私の両親が子どもの世話をしている」とのことですが，あなたご自身はどのような育児をされているのか，④お子さんたちは奥様のことをどのように思っているのか，がポイントではないかと思います。
　　ご留意いただきたいのは，奥様との間で離婚の話になった場合に，奥様がお子さんたちを連れて別居するおそれがあるので，それを断固阻止しなければならないということです。仮に，昨年から奥様が育児を一切行っていなかったにしても，お子さんの年齢からすると，奥様がお子さんを連れて別居に踏み切った場合，あなたが親権者，監護権者となることは困難となる可能性が高いです。
２　慰藉料
　　奥様の不貞の具体的な証拠がないとのことですね。
　　奥様が不貞の事実を認めるのであれば，証拠は必ずしも必要ではありませんが，通常，不貞を認めることはないでしょう。
　　奥様のお姉様の証言だけだと証拠としては弱いと思われます。
　　お姉様が協力してくださるのであれば，奥様に対し，LINE等で具体的な不貞についての事実関係を尋ねていただき，奥様の回答を証拠とする，というのは一つの方法かもしれません。また，奥様が，現在もその相手と不貞関係にあるのであれば，直接的な証拠を取得する可能性もあるかもしれません。
３　養育費
　　あなたが，お子さんの親権者，監護権者となれば，当然奥様に対して養育費の請求が可能です。

不貞慰謝料又は離婚慰謝料が必ず配当原資に充てられなければならないかというと，疑問に感じます。
以下の点は，少し専門的な話になりますが，詳しく説明すると長くなるので，分かりやすい説明は割愛します。
自宅を所有しながら破産となると，他の資産の有無や残ローンと自宅評価額との差額にもよりますが，管財事件になる可能性が高いと思われます。
管財事件だと，自由財産の拡張の申立てが可能であり，慰謝料については，自由財産拡張を申し立てればそれなりの金額は拡張が認められるように思います。
要は，破産しても慰謝料を（全額ではないかもしれませんが）手元に残せる可能性があるということです。

妻に対する慰謝料請求を認めさせるに足りる証拠が揃っているのであれば，慰謝料請求を先行し，勝ち取った慰謝料から申立費用を捻出して破産申立てをするというのでもよいように思いますが，詳しい事情が不明なので明確な回答はできません。

夫に対する慰謝料請求なら可能と思われますが（ただし，証拠の内容次第です），相手の女性の名前や住所が分からなければ，そもそも慰謝料請求自体ができません。

不貞相手の携帯電話番号が分かれば，弁護士に依頼することが条件となりますが，弁護士がその携帯電話番号につき登録されている名前，住所等を調べることは可能です。
職場に対して照会をかけるのは，おっしゃるとおり，退職するリスクがあると思われます。

不貞相手の氏名を調べる何らかの端緒がないと，弁護士といえど，調査は著しく困難です。
最も手っ取り早いのは携帯電話番号です。

裁判を提起し，夫の不貞相手に対し，「金○○円を支払え」という判決が出た場合，それでも不貞相手が任意に支払わないのであれば，その女性の財産に対して強制執行を申し立てることが可能です。
もっとも，その女性がめぼしい財産を有しない場合(預金口座に残高がない，不動産，自動車などの高価な財産を有していない)，強制執行をしても回収ができないという可能性はあります。