離婚せずに5年経過した背景事情やその間の過ごし方にもよるかと思いますが、子どもの年齢等、時間も経過していますし、配偶者が同意すれば別段、全くそのままでというのは難しいかもしれませんね。
そもそも配偶者が離婚に応じるかという点が何よりも重要です。配偶者が離婚を拒むなら、結局は拒む理由や望む条件から話し合う必要があります。

ともかく不受理届を出しておくことです。それ以外で勝手に親権者を決めることはできません。当時者同士の協議、離婚調停の中で合意により決めるか、離婚訴訟で裁判所の判断として決定されるかです。

「こうすれば」戻ってきてもらえる、という回答があるジャンルの物事ではないように思います。
反省や気持ちを伝えるなら、何度も連絡したりすることは逆効果かと思います。なぜ出て行ったのか、それに対して何ができるのか、慎重に考えて、ご自身の考えや気持ちをまとめたものを送る(手紙、メール)くらいでしょうか。

ただ、警察や児相の介入があるなかで、簡単に戻ってくることは正直考えにくいです。戻ってきてほしいとか、離婚回避ということを大上段に掲げてしまうと、相手からすれば問題の本質を理解していないと捉えられるおそれもあるでしょう。短期的な解決ではなく、長期的な視野に基づき、すぐには難しくても面会交流を実施できないか、お子さんとの関わり方がないかを模索すべきなのかもしれません。

破綻しているとは、夫婦には同居義務やお互いの扶養義務（民法７５２条）がありますが、こうした協力関係が維持できなくなっており、かつ回復の見込みがないような状態を指します。
破綻しているかは、個別判断であり、これがあれば確実に破綻という物差しがあるわけではありません。ただ、実務上、一定期間の別居があると破綻が認められやすいと考えられています。そこでよくあるご質問は何年別居すれば破綻が認められるのかというものですが、これもケースバイケースであり、同居期間や従前の夫婦関係、別居後の事情等、様々な事情により判断されるところです。よほど婚姻期間が短い場合を除いては５年程度の別居期間は必要となるでしょう（繰り返しですが事情次第なので一概にはいえませんが）。
破綻後に配偶者以外の者と性的関係を持った場合、確かに慰謝料請求は認められない、となります。
ただし、上記のとおり破綻しているか自体の判断が難しいですし、最終的には裁判の中で破綻の有無が争われ結果的に破綻していたから請求が棄却されるという流れをたどるものなので、実際にその時点で破綻していると安易に判断できるものではありません。

一般論として、「精神障害者だから」親権者になれない、という画一的なルールがあるわけではありません。
お子さんの監護・養育が適切に行えるのかどうか、これまではどちらが主としてお子さんを見てきたのか、今後の子育ての計画、住まいや仕事、就学先はどうするのか、子育てを手伝ってくれる人がいるのか（監護補助者）、精神障害ということが子育てにどういった影響があるのか、夫側の事情はどうか、そういったことの総合的な考慮で判断されます。
相談者の具体的な状況がわからないので、迂闊なことはいえませんが、精神障害があるゆえに子育てに支障がもしあるなら、その点をどうケアするか（監護補助者の有無、精神科の受診状況等など）により結論の見込みは変わってくることになります。

財産分与は婚姻後に形成された財産が対象となります（相続など夫婦の協力関係と関係なく取得した財産は別）。具体的にどのような財産があるのか次第です。
慰謝料は、不貞の時期や証拠の有無等によります。
具体的にどのように動けば良いか等、一度お近くの弁護士に直接相談されることもご検討ください。

日本の法律で別居○年で離婚成立と定めたものは存在しません。「5年」というのは、何かネットや書籍、法律相談などで聞いたのではないかと思いますが、それはあくまで目安で、「5年」という期間が法定されていたり、基準として判例等で確立されているわけではありません。裁判所は、婚姻期間、別居前の夫婦仲・経緯等、別居後の生活状況、別居期間といったことを総合的に考慮して判断しますので別居期間「のみで」判断はしません。
むしろ、事案によっては2，3年など、5年より短い別居期間で離婚が認められた事例もそれなりにあります。

現時点で「婚姻を継続し難い重大な事由」と認定されるだけの材料があれば、もちろん最終的に訴訟で離婚成立ということはありえます。ただ、離婚調停を先に行うのが原則であり、調停→訴訟と進行していくうちに、相手が離婚に応じなければ1，2年経過することもありえるので、訴訟で判決が出るころには、それなりに別居期間が積み重なっていくことになります。となると、5年必要かは別として、いずれにせよ、まずは別居し、協議、調停と離婚成立に向けた動きを進めていくのが良いかと思います。