現在離婚調停中で、相手方に弁護士が就かれており、無理難題を突き付けられているとのことであれば、
こちらも適切に対応するために、弁護士にご依頼されて対応されることをお勧めいたします。
無理な主張には応じる必要性はありません。

お困りとのことでご回答させていただきます。

相手方に改姓を強制することはできませんが、交渉で相手方に改姓を求めることは可能となります。

ご相談内容によれば、婚姻関係にない当事者から産まれてきた子どもであると思われますので、まずは当時付き合っていた彼氏の認知がなければ、養育費を請求することはできません。
当時付き合っていた彼氏がお子様を認知した場合には、養育費の請求が可能ですが、養育費の額は、お互いの収入状況等の算定根拠に基づいて決まるので、画一的に決まっているわけではありません。なお、彼女様のお子様とあなたが養子縁組を行った場合には、第１次的な扶養義務をあなたが負うことになりますので、養育費の請求ができなくなるおそれがあります。
養育費の時効は、養育費の合意をし、その支払時期から５年間なので、お子様のご年齢から時効にはなっていませんし、具体的な取り決めもないので、時効が完成していることはありません。
ただし、養育費を当事者間で定めることが難しいときには、家庭裁判所に調停を申し立てることができるのですが、その場合、調停を申し立てた月から養育費の請求が認められることがほとんどですので、必ず過去分に遡って請求することは難しいです。

慰謝料は、不法行為に基づく損害賠償であると考えられますが、時効は、生命・身体を害する不法行為なので、損害及び加害者を知った日もしくは不法行為があった時から２０年間となりますので、時効が完成していないと思われます。
ただし、慰謝料を請求する際には、請求する側が証拠により事実を証明しなければなりませんので、妊娠された経緯の証拠が必要となります。
その証拠によって、慰謝料が認められるか不明ですし、その認められる事実によって慰謝料の金額が変わってきますので、お答えすることは難しいです。

時効が完成していないとはいっても、認知請求をした上で養育費の請求をする際に、争いになれば時間がかかり、時効が完成する可能性もありますし、慰謝料請求の時効の完成も遠くはないので、早急にお近くの弁護士に相談されることをお勧めします。

一般論となりますが、結婚の際に発生した引越費用や住居費（礼金等）は認められない可能性が高いと思われます。

不貞によって離婚した場合の慰謝料請求の相場としては、１５０万円程度から２００万円程度となります。
慰謝料については、二人に請求することは可能ですが、二人合わせて１５０万円程度から２００万円程度となり、
二重でとれるわけではありません。
もっとも、離婚の場合には、妻に対し、財産分与として、婚姻してから貯めた貯金等の２分の１を請求することができます。

専門的な判断が必要となりますので、弁護士にご依頼されることをお勧めいたします。

家を購入すること自体は離婚に影響はございません。
ただし、不動産の購入資金を夫婦共有財産から支出する場合、財産分与の際に、
ご主人から不動産について共有財産であるとの主張がなされる可能性があります。
その場合には、不動産について分与財産に含まれてしまいますので、ご注意いただければと思います。

お困りとのことでご回答させていただきます。

ご主人が不貞行為を働いているのであれば、ご主人に対し、慰謝料請求を行うことが可能ですが、
不貞行為を容認している義父母に対し、慰謝料請求を行うことは難しいです。