具体的な事情が不明なため，一般的な話として聞いていただきたいですが，面会交流は，お子さんのために行うものですから，監護親といえど元夫との間の誓約書が面会交流の条件となることはないです。
但し，面会交流は，監護親の協力の下で実施するものなので，元夫が，監護親として貴女に何か誓約させたいことがあり(子の連れ去りをしないとか，父の悪口を吹き込まない，子に暴力を振るわない，などといった禁止条項)，それが子の福祉の見地から必要かつ相当といえるのであれば，応じた方がよいように思います。

現在面会交流について何らかの合意書（調停調書も含めます。）を相手との間で交わしているのかいないのかによって、できることが異なってきます。面会交流についての取り決めも何もしていないのであれば、家庭裁判所に面会交流の調停を申立てるべきだと思います。離婚の際に面会交流の取り決めをしている場合には、その取り決めに基づいて相手方に内容証明等で書面で面会交流を請求しましょう。その上で相手が面会交流を拒否した場合には、慰謝料請求をできる場合もあります。調停条項に反して相手が面会交流をしない場合には、裁判所の方から履行を勧告してもらうという制度もあります。

確かに面会交流が実施されなかったことに対する慰謝料請求は、不法行為に基づく損害賠償請求として認められることもあります。しかし、相手方の故意、過失の立証ができるかどうかの点で難しいこともあり、また、認められたとしても数10万円のことがほとんどなので、あまりお勧めはしません。むしろ、調停で面会交流について詳細に決めたのであれば、間接強制を申立てされる方がよいようにも思えます。

お子さんの年齢が分かりませんが、お子さんとの面会交流は、一般的に協議でやるよりも調停でやる方が早く決着はつくと思います。面会交流ではお子さんと会うことが、「月に１回」などと頻度を決めてできるだけですので、あなた自身の体調が許すのであれば、あなた自身のところにお子さんを引き取って育てることを認めてもらう監護者指定の調停（あるいは審判）というものもあります。

　 ご相談していただきまして、ありがとうございます。弁護士法人プロテクトスタンスの弁護士の大橋と申します。
　まず、面会交流中の費用負担について、実務上は特段定められているものではなく、正解というものはありません。もっとも、少なくともプレゼントや子供の分の食事については、相手方負担にするというものが多いのではないかと思料いたします
　そして、費用負担の内容等について合意できなかったとしても、公正証書に面会交流の時期等が定められているのであれば、それに従って対応していくことが望ましいといえます。
　弊事務所は、多数の離婚等事件について、扱っておりますので、もしご不明点等ありましたら、遠慮なく下記のフリーダイヤルまでお掛けしていただければと存じます。
　どうぞよろしくお願いいたします。

弁護士法人プロテクトスタンス
〒１００－０００６
東京都千代田区有楽町２－１０－１　東京交通会館１０階
TEL：０１２－９１５－４６４

法的手段としては面会交流の調停申立でしょう。調停では、状況によっては調査官が同席したり、試験的な面会実施などを経て、話し合いがもたれます。また調査官が家庭の状況とかお子さんの状況などが調査されることもあります。お子さんの年齢、双方の家庭環境によって解決方法が模索され、話し合い解決ができななければ審判で裁判所が決定します。また面会の実施については第三者機関（ＦＰＩＣなど）の利用が考えられます。

調停は裁判所でする話し合いですので、本題が面会交流だとしても、その場を借りて自由にいろいろな話をすることはよくあります。また、調停は出席も、交渉に応じるかどうかも自由なので、生活費の支払を交渉に応じる条件にすることは、よく使う１つの手ではあります。調停委員は調停をまとめたいので、相手が言ってきていることをあなたに告げるのは普通のことです。応じるか応じないかはあなたが決めることなので。