【ご回答】

方法といたしましては、

①親権者変更審判の申立て
➁元妻による親権停止又は喪失を求める審判の申立て
③（①の決定が出るまでに時間を要することから）親権者の職務停止及び職務代行者の指定を求める審判前の仮処分申し立て
を行うべきかと思います。

協議離婚無効確認の調停を申し立てることは可能ですが、調停で合意が困難なことが見込まれること、その後の結果がでるまでの期間にかなりの時間を要することから、相手方のもとでお子様方が生活している状態が長期化するため（既成事実）、仮に離婚無効となったとしても、親権の取得がより困難になる可能性が高いかと思います。そのため、もし離婚無効調停を申し立てるのであれば、上記①から③の手続と並行した行う必要があるかと思います（①から③をされるのであれば、離婚無効調停はあくまで「元妻」が親権者となるに至った経緯を主張するにあたっての裏付け乃至補強のための手段（パフォーマンス）と捉えるべきでしょう）。
そもそも親権者の変更手続は、弁護士が介入したとしてもかなり困難な申立てであることは間違いありません。

もっとも、①から③の申立てをすることで、裁判所から元妻の家庭や学校に対する調査が入るため、（親権の取得ができなくとも）お子様方の安全確保に繋がる余地があります。

また、ネグレクトに関する証拠（児童相談所や学校側の記録等）があるのであれば、親権者の変更に向けて争う余地（認められる可能性）も出てくるかと思います。

いずれにせよ、お子様方の安全を確保し、親権の取得を希望されるのであれば、証拠を収集し、早めの申立てをされるべきでしょう。

【相手方の住所地の特定】

市区町村の役所にて、お子様方（実子）の「戸籍の附票」を取得されると、相手方の住民票の履歴（最新のものを含む）をご確認できるかと思います（相続等の関係より、親権者ではない方の親において、子の戸籍等書類を取得する（辿る）ことができます（逆も同じ））。

【最後に】

上記手続きいずれも専門的な知識及びそれに沿った行動が必要となります。そのため、お子様方のためにも、手続開始の前に弁護士にご相談されることをお勧めします。

まず、協議離婚無効確認については、言った言わないという話し合いになる可能性があり、その場合、裁判所としても、難しい判断になります。
相談内容について、全て明言された録音などがあれば別ですが、そうでない場合は、協議離婚無効確認調停を起こしたとしても、こちらが有利になる可能性は高くないと思います。

そのような事情があるので、親権者変更調停・子の引き渡しの審判申立て及び審判前保全処分を行う方がよいと考えます。
これに関しては子供の福祉、つまり子供の最善の利益が重視されます。
したがって、虐待の事実や子供を学校に通わせていない等の事情があれば、これらの事情が親権者変更等の判断資料となります。
事実関係が明確になり、母が上記のような事情で子を監護等するのが明確にふさわしくないことが明らかになれば、親権者変更等はこちらに有利な判断が下される可能性がなくはないと思います。

特に、子の福祉という観点では、現状維持で問題ない場合、監護状況等に問題なしとされる可能性がありますので、現在の監護状況を既成事実を認めないことを示すためにも、速やかに親権者変更調停等を申し立てる必要が高いと思います。
仮に、このまま時間が過ぎると、現状を既成事実として認めることになりかねません。

そのため、この手続を開始する前に、一度法律専門家（弁護士や司法書士など）と話し合い、アドバイスを受けることを強くお勧めします。

なお、ご自身で行う場合に、住所地がわからない場合の裁判手続きについては、裁判所に確認ください。
一方で、弁護士であれば、依頼を受けた場合には、住民票の調査などができ、相手方の住所調査自体は可能です。

ご検討のほどよろしくお願いいたします。