まず，養育費の範囲内かどうかは，元配偶者同士の収入によっておおよそが決まるので，これだけの情報では残念ながら，わかりません。
ただ，塾代を半分請求することは，「入学費用等は，相談に応じます」と調停で決められている，もしくは，協議がなされていたというのであれば，請求は可能だと思います。
養育費の金額にかかわらず，学費等の負担は，元配偶者と話し合いが可能であれば，話し合いをした方が，よいのではないかと思います。

離婚の際の養育費がいくらかということは、実は協議離婚や調停離婚のような話し合いによる離婚では、一定の額と決まっているわけではないのです。翻って見ると、話し合いによる場合には、こちらの必要な額を請求してみて、相手が応じてくれればそれでよいのです。一方で、調停でも算定表によることを選択したり、訴訟で裁判所が決める場合には、算定表というものを使いますが、これは離婚請求（申立）時の各自の年収をもとに作られた表です。ただし、算定表による場合でも申告額が絶対というわけではなく、相手の実所得が本当はもっと高いことをこちらが他の証拠で立証できれば、算定額よりプラスアルファされたケースもあります。

１　奥様の転居費用
　　奥様が自宅を退去した理由にもよるとは思いますが，基本的には，折半ないし双方の収入割合に基づく負担ということになるのではないでしょうか。
２　家具
　　これは，お二人が同居するにあたり購入した家具の「購入代金」ということでしょうか。
　　その家具を何年使用したかにもよると思いますが，すでに「中古」の家具となるので，新品の購入代金を請求されるのは相当ではないでしょう。リサイクルショップなどへの売却代金相当額を支払えば十分ではないでしょうか。
３　養育費
　　双方の合意により，養育費額を決めるのが原則です。
　　合意に至らない場合は，双方の収入に照らし，相当額を算定します。
　　養育費は，離婚後，具体的に請求されてから支払義務が生じるので，離婚前に請求されても支払う必要はありません。「婚姻費用」であれば，支払義務はあります。
　　気になったのですが，あなたの連れ後である娘さんと奥様とは養子縁組をしているのでしょうか。
　　仮に，養子縁組をしており，離婚に際し，離縁しない場合は，奥様はあなたに対し，娘さんについての養育費を支払う義務を負います。

認知はお子さんが成年である場合を除いては、父親が単独でできる行為なので、母親であるあなたの承諾なしでできます。よって、あなたが認知拒否はできません。
また、弁護士であれば戸籍謄本がとれますので、簡単に子の本籍地を知ることができます。

弁護士に依頼するかどうかは、相談者の自由なので、弁護士費用を相手方に請求することはできません。

　ご相談していただきまして、ありがとうございます。弁護士法人プロテクトスタンスの弁護士の大橋と申します。
　ご相談事項でありますが、仮に元妻が再婚したとしても直ちに養育費の減額ができるわけではなく、養子縁組をすることによって、養育費減額の余地が生じます。なお、養子縁組をすることによって、子供に対する扶養義務は、第一次的に養親が負いますが、ご相談者様も直系血族としての扶養義務を免れるわけではないので、養父に経済的資力がない場合には、扶養義務として子供に対する経済的負担を負うことがあります。
　養育費減額の余地がある場合は、交渉或いは養育費減額の調停を申し立てることになります。
　弊事務所は、多数の離婚等事件を扱っておりますので、ぜひ一度下記のフリーダイヤルまでお掛けしていただければと存じます。
　どうぞよろしくお願いいたします。

〒１００－０００６
東京都千代田区有楽町２－１０－１　東京交通会館１０階
ＴＥＬ：０１２０ー９１５ー４６４

離婚の際に公正証書で決めていた養育費の額を請求したい場合には、相手方に対して、減額を申し入れた証拠を残すためにできれば文書で（内容証明が望ましい。）、養育費の減額の申し入れをしてみましょう。相手が応じれば、合意書などをまた改めて交わせばよいし、相手が応じて来なければ、家庭裁判所に養育費の減額調停（ないしは審判）の申立てをするとよいと思います。調停に備えて、新生活で新たに子育てに費用がかかっているという証拠を用意しておくとよいでしょう。