財産分与で婚姻後形成した財産を半分請求することは可能です。もっとも，いつの時点の財産を分与の対象とするかについては，争われる可能性があるかもしれません。
「物は投げる，暴言吐かれて」いたのがいつか不明ですが，慰謝料請求は現実的には難しいように思います。

貴方の年収等にもよりますが，児童扶養手当は受給可能でしょう。
市町村によって受給額や所得制限額が異なりますので，お時間があるようなら市役所のＨＰをご確認ください。
また，児童手当の受取先の変更も可能です。これは離婚しなくても一定の要件が満たされれば変更可能です。

慰謝料を請求したいのであれば，事前に証拠収集をすべきでしょう。
交際相手の態度からすると，あなたに対する暴力，暴言を認めるとは思えないからです。
警察の供述調書は，事件自体が不起訴だったと思われますので，写しをもらうことはできないです。
今後，暴言については録音，暴力については写真撮影や診断書といった証拠化作業が必要になります。

たしかに，あなたがされてきたことを考えれば，慰謝料を取りたいと思うのは当然ですが，個人的には，お金より，まずあなたが交際相手から解放されて自由に生活できることの方が価値があると思いますので，早々に自宅を出て別れた方がよいのではないでしょうか。

あなたの一番の希望は，夫の子に対する叱り方の改善などを話し合ったうえで婚姻生活を続けることで，それがかなわない場合に離婚することも視野に入れている，という感じでしょうか。

まず，「現状の解決策」についてです。
相談内容を読む限り，（ご指摘の通り）夫はモラハラ傾向にあり，話し合いを求めるあなたの言葉に耳を貸す可能性は低いように思われます。
そうかといって，いきなり弁護士などの第三者を代理人として間に入れても，夫の態度が余計に硬化する可能性が高いのではないでしょうか。
そこで，家庭裁判所において，「夫婦円満調整調停」を申し立て，中立公平な家庭裁判所において，調停委員という第三者を入れて，もう一度家族の在り方を話し合う，ということなら，まだ穏当かもしれません。
弁護士などを代理人とする場合と，調停を行う場合との違いは，前者はあなたの代理人であり，後者は中立公平な裁判所における手続ということです。
調停では，貴方と夫が直接話し合うのではなく，必ず，間に調停委員を入れて，調停委員に対してそれぞれ話をすることになります。調停の中で，夫に，子どもへの接し方や，貴方への言動等を見直してもらえるように話をしてみてはいかがでしょうか。

仮に，離婚の方向で検討される場合は，夫のモラハラ的言動や子どもへの行き過ぎた叱責を「録音」すること，夫の財産（預金，有価証券，車，ローンなど）を調査しておくことをお勧めします。

お子さんたちを連れて夫と別居し，夫から生活費（婚姻費用）をもらいつつ，離婚の協議を進めていく，というのが理想です。

もっとも，ご実家が遠いことに加え，「貯金をすべて使ってしまいました。」「別居する収入もなく」とのことなので，そもそも経済的に別居に踏み切れるのかが疑問です。

また，別居に踏み切り，転居先での生活を始めたとして，夫に婚姻費用の支払いを求めても，夫が支払を渋った場合，最終的に家庭裁判所が適切な金額の婚姻費用を定めたとしても，夫が直ちに支払うかどうかも不明です。
そうすると，給与差押えなどして実際に夫から回収できるまでの間，あなたが自らの収入のみで生活を保持していかなければなりません。

あなたが苦しんでいる現状は理解できるし，今すぐにでも夫と離れたいというお気持ちも分かるのですが，別居後の具体的な生活設計をしてからではないと危険ではないかと考えます。例えば，あなたの収入をもっと上げることは可能か，親族から援助を受けることは可能か，いくらあれば転居後暮らしていけるかなど，具体的にシミュレーションをした方がいいと思います。

もう一度，離婚調停を申し立てたらいかがでしょうか。

前回の調停は「夫が上手で口で勝てないと思い」取り下げたとのことですが，調停は，「相手を言い負かした方の勝ち」の手続ではありません。夫と直接離婚について話し合うわけではないので，あなたは，ご自身の気持ちや同居中の出来事を淡々と調停委員に伝えればよいです。
諦めずに頑張ってください。

できれば，夫が受けたカウンセリングや講習の資料などをコピーをして持って行った方がよいと思います。本日から別居ということで難しいのかもしれませんが。
次回の調停の際に，「夫が改心するというので同居を再開したが，夫はカウンセリングなどもすぐやめてしまって，元に戻ってしまった。もう信用できない」と主張するとして，その裏付けの資料になります。

それでもお一人で調停手続をするのが難しければ，弁護士に依頼することもご検討ください。

夫から明示的に離婚届けへの署名押印を求められたわけではないのですから，放置でよいと思います。

「現状の」解決策を知りたいとのことですが，お話を聞く限り，なかなか夫の考えを変えさせるのは難しそうに思います。
お子さんへの接し方を改善させたいのであれば，夫を非難するような言い方を避けて，具体的に叱り方をレクチャーして，こういうふうにしてくれたらうれしい，といった伝え方をしたらどうかと思いましたが，おそらく似たようなアプローチはすでに試していますよね。いくら言い方を変えて伝えても変わらないのであれば，なかなか今後も変わらないのではないでしょうか。

夫が，自宅を出て別居したり，あなたとお子さんを無理やり家から追い出すなどの強硬手段を取らない限りは，あなたが離婚に応じなければ，離婚という結論にはならないと思いますので，お子さんと一緒に，夫への対処方法なりやり過ごし方を研究した方がいいかもしれませんね。

「もしものときのために離婚への知識」とのことですが，夫の財産や年収を調べておいて損はないと思います。いざ離婚という時に役に立ちます。