ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

例えば元々養育費の前払いの趣旨で支払ったものであれば、そのように主張すべきです。
その300万円を支払った理由、当事者双方の認識が問題になるかと思われますので、当時のやり取りや状況等をできるだけ思い出し整理したメモを作る等したうえ、直接弁護士に相談、回答をもらうのがよいかと存じます。

あるいは（理屈はともかく）交渉の結果、300万円全額又はその一部は養育費に充当するという合意がとれればよいですが、いずれにせよ、上記のとおり当時どういった意味で渡したのか、その主張の見通しはどうか、から始めた方がよいです。

養育費はお互いが合意すればその金額で決めることはできます。その場合に、現実の生活費等の内訳を参考に決めることはありえるとは思います。しかし、合意ができない場合は裁判所の算定表を用いて決めることになります。算定表は双方の収入を元に金額がきまるようになています。算定表自体は、過去の事例や統計等をもとに金額を算出しているので、実際の生活費が算定表上の金額以下かどうかは通常問題にされません。
相談者としては、算定表にしたがって金額で決めることを希望したい、その場合の金額は記載の金額、ということを伝えればよいです。

保証人にでもなっていない限り、当然に孫の養育費を支払う義務はありません。応じられないと言って良いです。
とはいえ、本来息子さんの問題である以上ご本人に動いてもらうほかありません。どのように養育費を決めたのかによりますが、息子さんが相手に事情を話して交渉するか、ご事情によっては家庭裁判所に養育費の減額調停を申し立てることも考えられます。いずれにせよ放っておけば未払額が増えていくだけなので息子さんを諭して何らか動くよう説得した方がよいです。動き方が分からなければ直接法律相談を受けるか、依頼して交渉なりしてもらうことも検討対象です。ただ、いずれにせよ現状どうすればよいか分からないということなので、やはり一度お近くの弁護士に相談されるのがよろしいかと思います。

戸籍等も確認しないと正確なことはわかりませんが、おそらく子の父は元夫として出生届が出され、戸籍にもそれに従った記載がなされていることかと思います。
元夫と子の法的な親子関係を否定するには、原則、「嫡出否認」という手続を「元夫」が子の出生が1年以内に裁判所に申し立てる必要があります。1年過ぎている場合、「親子関係不存在確認」や真実の父に対する「強制認知」という手続によらなければなりませんが、妊娠前後の期間別居していたであるとか、元夫ととの子でないことが客観的状況から明らかだといえることが求められます。
嫡出否認によらずに手続が可能かは、具体的な事情を詳細に把握する必要があります。

裁判所から届いたのは差押に関するものではなく、財産開示に関するものでしょうか。一旦差し押さえがなされると、養育費の場合は将来分の差押が容易に可能など一般債権より優遇されているため、相当な好条件を提案しないと相手側は差押を取下はしないでしょう。一方、まだ差押に至っていないということしたら、提示する支払条件によっては差押までは至らない可能性もある程度は（少なくとも差押後よりかは）残されていると思います。
裁判所から届いた書面に関する対応も含めて、記載されているとおり早急に弁護士に直接相談されるべきです。
個別の法律事務所へ問い合わせてアポを取るか、弁護士会や法テラス等の法律相談会を利用するなど、様々なチャンネルがありますので、お近くの事務所や相談会等でご相談されるのがよろしいかと思います。

法的に養育費を請求し、かつそれが裁判所に認められるには「認知」成立が大前提となります。
相手が任意に認知しないなら、家庭裁判所で認知調停、調停不成立なら認知訴訟を提起することになります。

養育費について、金額は双方の収入で決まるため、相手が自営業でどの程度の収入があるかという点は確かに問題になることはあります。相手に収入資料の提出を求めることは必須になるでしょう。最悪、収入がない場合に回収が困難となることは否定できません。しかし、それは、請求の果てに相手の収入や資産がどうであったかによるところであるため、初めから請求を諦めるべきではありません。