ご質問にお答えいたします。
本件の問題は、①夫が拒否した場合であっても入学手続を進めることができるのか、②夫に学費等の分担義務はないのか、という２つに分けられますので、以下、これに沿ってお答えいたします。

まず①についてです。
まだ離婚が成立していない状態ですと、父母が共同して親権を行使することが本来のかたちです。
お子さんの入学手続についても、父母双方の同意のもと進めることが望ましいといえます。
しかし、夫婦が別居して険悪な状態にあると、共同して親権を行使することが事実上不可能になることもあります。
このような場合、お子さんを実際に監護している側が単独で親権を行使することも認められ得ます（民法８１８条３項）。
実際に、入学予定の学校に対しきちんと事情を説明すれば、「絶対に夫の同意が必要である」とまでは言われないはずです。

次に②についてです。
まず前提として、夫婦が別居した場合、収入の低い側から高い側に対し、婚姻費用（生活費）の分担を求めることができます。
そして、標準的な婚姻費用ではカバーしきれない学費の負担が生じる場合、夫婦の収入に応じて公平に学費を分担するよう求めることができる場合もあります。
本件では夫も受験を応援していたということですから、お子さんの進学については同意があったものと考え、学費の分担を求めることも可能であると思われます。

なお、共有の預貯金から学費を出した場合、後に財産分与の場面で争いになることはあり得ます。
しかし、「共有の預貯金から学費を出すことが違法である」とはいえません。

＞結婚をし、子供ができた時に養育費の減額請求をしてほしいのですが、彼との間で取り決めの書面を交わす際の要点を押さえた書き方を教えて欲しいです。
→どういった取り決めをするのかによります。もし、養育費の減額請求をすることを約束するといったものだと、仮に約束を交わしても強制力がありません。同居についても同様で、紳士協定的なものとして男性と約束することは可能でも、同様に強制的に実現する方法がありません。

大前提として、その男性が子どもたちを認知していることが必要になります。もし、認知がまだなら、任意認知を求め、拒否するようなら家庭裁判所での認知調停、認知訴訟と進むことになります。
認知済み、あるいは任意認知に応じるとなれば、公正証書の作成は可能ですし、公正証書を残すことが望ましいです。口約束や当事者同士だけで作成した書面だと、未払いになった際にすぐに強制執行（口座や給与の差押）ができませんので。
もし、認知成立後、相手が養育費の支払いに応じないなら、やはり家庭裁判所で養育費の調停・審判をおこなうことになります。

公正証書では、月ごとの養育費の金額、始期と終期（いつから支払が始まり、いつ終わるのか）、特別費用について（例えば私立大学に進学する場合の学費の扱いなど）等を決めるのが一般的です。

法的に養育費を請求し、かつそれが裁判所に認められるには「認知」成立が大前提となります。
相手が任意に認知しないなら、家庭裁判所で認知調停、調停不成立なら認知訴訟を提起することになります。

養育費について、金額は双方の収入で決まるため、相手が自営業でどの程度の収入があるかという点は確かに問題になることはあります。相手に収入資料の提出を求めることは必須になるでしょう。最悪、収入がない場合に回収が困難となることは否定できません。しかし、それは、請求の果てに相手の収入や資産がどうであったかによるところであるため、初めから請求を諦めるべきではありません。

保証人にでもなっていない限り、当然に孫の養育費を支払う義務はありません。応じられないと言って良いです。
とはいえ、本来息子さんの問題である以上ご本人に動いてもらうほかありません。どのように養育費を決めたのかによりますが、息子さんが相手に事情を話して交渉するか、ご事情によっては家庭裁判所に養育費の減額調停を申し立てることも考えられます。いずれにせよ放っておけば未払額が増えていくだけなので息子さんを諭して何らか動くよう説得した方がよいです。動き方が分からなければ直接法律相談を受けるか、依頼して交渉なりしてもらうことも検討対象です。ただ、いずれにせよ現状どうすればよいか分からないということなので、やはり一度お近くの弁護士に相談されるのがよろしいかと思います。

戸籍等も確認しないと正確なことはわかりませんが、おそらく子の父は元夫として出生届が出され、戸籍にもそれに従った記載がなされていることかと思います。
元夫と子の法的な親子関係を否定するには、原則、「嫡出否認」という手続を「元夫」が子の出生が1年以内に裁判所に申し立てる必要があります。1年過ぎている場合、「親子関係不存在確認」や真実の父に対する「強制認知」という手続によらなければなりませんが、妊娠前後の期間別居していたであるとか、元夫ととの子でないことが客観的状況から明らかだといえることが求められます。
嫡出否認によらずに手続が可能かは、具体的な事情を詳細に把握する必要があります。

弁護士会や自治体等の無料の法律相談会が沢山行われていますので、まずはそういったところで相談されてみてはいかがでしょうか。依頼する場合も、収入等の要件によっては法テラスの民事法律扶助の制度を利用できる場合もあります。
相談はやはりご本人がされるのが望ましいです。詳しい事情や今後の方向性はご本人でないと具体的な相談・回答が難しい場合が多いのと、場合によっては依頼へとスムーズに進める等のためです。ご家族が相談される場合でもある程度一般論としての回答にはなろうかと思いますが、離婚に向けた手続の説明や必要なもの・情報等のアドバイスはできると思います。