西村法律事務所と申します。
お困りのことと存じます。

未婚の場合の養育費の支払については、まず認知が先行して、その上で決められるのが通常かと思います。
以下、認知と養育費について分けてご案内します。
①認知
未婚であっても親子関係があるようであれば認知をすることになります。
ご自身の子であると認められない場合には以下の手続を経ることになります。
・調停（合意に相当する審判）…話し合いで解決を目指す。
・訴訟…裁判所が親子関係の有無を判断する。

②養育費
認知によって親子関係が認められた場合には養育費の支払義務が発生します。
（認知請求のタイミングにもよりますが、出生時からとされることが一般的なように思われます。）
養育費の金額に納得いかない場合には以下の手続を経ることになります。
・調停…話し合いで解決を目指す。
・審判…裁判所が養育費の相当額を目指す。

以上のとおり、当事者間で話し合いがつかない、一方の言い分に納得がいかない場合には、法的な判断を仰ぐ場が用意されています。
必ずしも、彼女様の言いなりになる必要はないでしょう。

その上で、今回、彼女様の言い分が正当かについては、男女問題・親子問題に精通した弁護士へのご相談をオススメいたします。

養育費については、基本的に収入を基礎に算定することになります。
そのため、借金が多いことを理由に、養育費を請求できなくなるわけではありません。
ただ、請求ができることと実際に支払ってもらえるか、回収ができるかというのは別問題になります。
この辺りは個別の事情によるところが多いので、弁護士への面談をオススメします。

相手方が借金まみれとのことであれば、親権を確保できる可能性は高かろうと思います。