お子さんが３人いらっしゃるとのことですから，なるべく養育費の支払が確保できるよう公正証書を作成するか，調停を申し立て，調停調書に養育費のことを記載してもらうのがよろしいかと思います。
家の名義変更についても書面化しておく方が安心でしょう。

夫の転居先は，夫が住民票を異動していれば，離婚後であっても養育費の請求などを理由に調べることは可能です。転職先については，養育費の未払いがあれば，調査することはできますが，前提として調停調書などの書面により養育費が認められている必要があります。

養育費は、住宅ローンの支払いとは関係なく支払い義務があります。養育費の金額は、お互いの年収と、子供の数、年齢で、裁判所の計算式があります。ご主人の借金や、その外の支払いは全く考慮されません。
住宅ローンは、ご主人と銀行との契約なので、貴方が支払う関係にはないです。
貴方が支払うとしたら、ご主人に家賃を支払うという関係になります。
問題になるのは
①家賃の額を幾らにするのか。住宅ローンと同額にする必要はないです。
②貴方が、その住宅に居住する期間を何時までにするのか。・・・長期間家賃支払ったとしても自宅不動庵の財産分与しない限り、所有権はご主人のままです。
③不動産の固定資産税、建物の修理費はどちらが負担するのか。
子供さんの特別な治療費は、養育費として、協議対象になります。

そもそも，いったん合意した養育費額は，その後に減額の合意等がない限り，当初の合意に基づく支払いの義務があると考えます。
現在の夫と娘さんが養子縁組をしたこと，元夫が再婚相手との間に子が出生したことは，元夫の支払うべき養育費額に影響を与える事実ではありますが，法的にそうであることと，当事者間で取り決めをした内容はイコールでなくてもよいわけで，当初の合意がそのまま効力を持ちます。

現在，「公正証書で取り交わした月々の養育費よりもかなり減額した額で支払ってもらって」いるとのことで，あなたと元夫との間で，月々の養育費については事実上又は黙示の減額の合意がされていると考えることはできますが（そこも争う余地はあるかもしれません），一時金については，特に減額または支払わない旨の合意はされていないのではないでしょうか。
そうであれば，少なくとも一時金については，支払いを求めてもよいと思います。

まずは、相手方に対して内容証明を送り（できれば配達証明付きで）、面会交流を協議書通りに行うよう請求してみることです。それとともに、今までに連絡したのに相手が面会交流を拒否したという証拠をたくさん集めておくことです（LINEやメール、電話の録音等）。
その上で、公正証書に基づいて家庭裁判所に面会交流の調停ないしは審判を申立てたり、間接強制の申立をしたり、地裁に精神的損害について損害賠償請求をしたりすることが考えられます。いずれにせよ、拒否されたという証拠が物を言うので、証拠を集めることです。

・慰謝料
　お話をうかがっている限りは，婚約関係にあるといえます。また，相手の男性から，婚約を不当に破棄された，ということも認められると思われます。婚約の不当破棄であれば，慰謝料請求が可能です。
　一般的には，婚約の不当破棄に関する慰謝料額は，数十万円から１００万円程度ですが，妊娠されている場合は，１００～２００万円程度となることもあります。嫌な話ですが，婚約破棄を悲観して堕胎した場合は，訴訟上の和解で１５０万円程度となったことがありました。
　慰謝料請求については，内容証明郵便による請求⇒交渉がうまくいかない場合は訴訟提起，という流れが多いです。
　当事務所では，弁護士名による内容証明郵便の作成から訴訟まで関わることができます。
　費用については，内容証明郵便による請求時に着手金１１万円，さらに訴訟に進んだ場合は，追加着手金として１１万から１６万円程度が掛かります。
・養育費
　お子さんが出生した後の請求になりますが，前提として，認知が必要です。
　母親は，出産によって当然に親となりますが，婚姻関係にない限り，父親は，認知によってはじめて法律上の父となります。
　認知は，出生後に可能なほか，胎児認知も可能です。
　認知をすれば，法律上の父として子に対し扶養義務が生じるため，養育費の請求が可能です。
　双方の合意があれば，養育費の金額はいくらでも構いませんが，争いがある場合は，一般的に，家庭裁判所で用いる算定表をベースに，双方の収入に照らし合わせて適正額を決めていくことになります。
　相手の男性の「無職，軽いうつ病」は影響するか，ということですが，上記のとおり，養育費額に争いがある場合，双方の収入に照らし合わせることになるため，影響はある，ということになります。
　相手の男性が現在無職であっても，働く意思と能力自体が認められれば，養育費が０となることはないと思われます。
　養育費を協議で定められない場合は，家庭裁判所に調停を申し立てることになります。
　調停は，ご自身で申立てることが可能なほか，弁護士を代理人として申立ててもらうこともできます。
　費用面については，あなたの資力，収入次第で法テラスの利用も可能かもしれません。

ご質問については，上記のとおりの回答となります。

離婚時に養育費や面会交流等の取り決めができればよりよいというだけであり、取り決めをしなくても離婚届は提出できます。離婚届を提出することを承諾してくれないというのはどのような理由によるのでしょうか。その辺りの事情をよく確認する必要もあります。

養育費はお互いの収入によって決まります。
「養育費　算定表」と検索すれば出てきます。

なお、一度養育費を決めた場合には、養育費を減額するだけの特段の事情があれば、養育費減額調停を申立てることが可能です。

具体的には、収入が減少した、再婚して扶養家族が増えた、などです。